138 Anwendungen der Differentialquotienten. § 1. Unbestimmte Formen. 
Unter Umständen kann ein solches Verhalten fortdauern bis zu 
i-ten Ableitungen einschließlich; dann wird man als Schluß- 
den n 
ergebnis erhalten: 
lim IÄ - li»Ä 
x ~ a lli ” (x) 
x=a^i X ) ^ 
Hiernach wird das Verfahren zur Auswertung der unbestimmten 
Form, wie man den Vorgang auch zu nennen pflegt, in folgendem 
bestehen: Man differenziere Zähler und Nenner des Bruches je 
für sich und wiederhole dies so lange, bis man zu einem Bruche kommt, 
dessen Zähler und Nenner nicht gleichzeitig gegen Null konvergieren; 
der Grenzwert dieses Bruches ist zugleich der Grenzwert des ursprünglichen. 
Das Verfahren ist auch dann anwendbar, wenn die kritsche Stelle 
im Unendlichen liegt, d. h. wenn cp ix), ip(x) bei lim x = oo (oder 
= — oo) gleichzeitig gegen Null konvergieren. Setzt man nämlich 
G) 
x = —, so nimmt 
, Ht) 
= —0) an; nun ist aber 
die unbestimmte Form bei lim z — 0 (oder 
Mt) - 
'(7) 
Mt)~ 
'G) 
wobei ' aus durch dieselbe Substition x = j hervorgeht; 
durch Anwendung von (2) ergibt sich also 
V) ... ub 
lim 5® - lim 
cp\x) 
dabei muß im Sinne der Bedingungen des Hauptsatzes vorausgesetzt 
werden, daß es einen Wert von x gibt, von welchem an ip'(x) nicht 
mehr verschwindet. 
Beispiele. 1. Das an erster Stelle behandelte Beispiel 
r f \ x m — a m 
/(x) - 
erledigt sich mit Hilfe der Differentialrechnung unmittelbar für be 
liebige rationale m, n, indem nach (3) 
2. /{x) = 
/(«) = 
x — sin x 
„n— 1 
VI r 
= — ä‘ 
_ „ 11 
tion; 
/(0) = lim 
gibt bei lim£ = 0 nach zweimaliger Differentia- 
1 — cosa? 
3x i 
,. sin x 
lim —— 
bx