Die Formen — und 
o C\j 
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3. Ebenso erfordert f(x) = /——bei H m # = 0 zweimalige 
J K ' 1 — cos# 
Differentiation: 
2# 
/(0) = lim 3 J^- 2 = lim = 0 . 
y \ / Hin nt*. r*os er 
e 
/iy) x s — 2# 2 — 9#-)-18 
r / x sin x — x cos x , . n /1 \ 
/0*0 = ¿5 bei « = 0 
sin# 
4. Man untersuche ferner: 
# 3 — 19# -)- 30 
bei # = 2 und # = 3 
/0) 
/0*0 
/0) 
tga# — ax 
tgö#— &# 
sin# — cos# 
sm 2# 
# 
cos 2# 
bei £ = 0 ^ • 
tff# 
=£ bei *-0 (i) 
80. Die Form 
oo 
Diese Form entsteht, wenn in f{x) = 
cp(x) 
Oü ' ' " ' ' 1p (x) 
Zähler und Nenner bei einem bestimmten Grenzübergauge ins Un 
endliche wachsen. 
Zuerst handle es sich um den Grenzübergang lim X = 00 (oder 
= — 00). Es gilt dann der Satz: Wenn ip'(x) von einer Stelle X an 
qp'(#) 
nicht mehr Null wird und 
<P (#) 
!//(#) 
einer Grenze A zustrebt, so honvergiert 
auch ~~ gegen diese Grenze, sofern 9o(x), f{x) stetig bleiben und 
eigentliche Differentialquotienten besitzen. 
Sind x 0 <Cx zwei Werte aus dem Intervall (X, 00), so ist nach 
dem erweiterten Mittelwertsatz 
qp(U — qp(- r o) = <p'(i). 
lp(x) — 7p (# 0 ) y (|) ’ (x 0 < | < x). 
daraus schließt man weiter: 
und 
qp(#) 1 
<pG 0) 
<p(#) 
VG«) j 
^(#0) 
y'd) 
lp(.r) 
qp(#) 
<p'& 1 
y (a?o) 
1p(x) 
ip(x) 
y'(£) ! 
qp(# 0 ) 
cp(x) 
Indem man nun x bei festgehaltenem x 0 wachsen läßt, wird der erste 
Faktor rechts zwischen gewissen Grenzen A — s und A + £ bleiben, 
die sich durch Wahl von x 0 beliebig eng ziehen lassen: und der zweite