140 Anwendungen der Differentialquotienten. § 1. Unbestimmte Formen. 
Faktor, dessen Grenze 1 ist, wird schließlich auch über das Intervall 
1 — s bis 1 + £ nicht hinausgehen, so daß man, unter 6, 6' echte 
Brüche verstanden, setzen kann: 
+ 0 £ ) (1 + 0 £) = A -\- {0 + Ad + 66'a) £. 
Ist M=J=0 und wird £ < | A | genommen, so ist i 6 + A6' -f 66's | 
< 1 -f 2 | A , somit 
qp(+ _ ^ 
1p(x) 
<*, 
wenn £ < 
ö 
r+2 A 
gewählt wird. 
Ist A = 0, so ist 1 6 + A6' -f- 66'£ | < 1 + £, daher 
<p+) 
Tp (xj 
< d, wenn (1 + «) £ < d, wozu ausreicht, daß £ < 
ö 
1 + d 
angenommen wird. 
Da d selbst beliebig klein festgesetzt werden kann, so hat man 
tatsächlich, ob A 4= 0 oder A = 0 ist, 
lim 
X= CO 
7f){X) 
= A = lim 
X= <X) 
1/)' («) ■ 
Um auf den Fall überzugehen, daß # gegen eine endliche Grenze & 
konvergiert, setze man # = a -f- und lasse z ins Unendliche wachsen; 
man hat dann wegen 
+\j) =-y2X' (a+j), 
wo unter % (a -j- das Resultat der [Substitution # — a in 
%'(x) bedeutet, 
lim 
x — a 
qpQ*0 
ip(x) 
lim 
Z= GO 
j4+j) 
^'(“+7) 
lim 
x = a 
■rp' (x) ’ 
es gilt also dieselbe Regel wie bei dem Grenzübergange lim# =00. 
Voraussetzung aber ist, daß es eine Umgebung von a gibt, in der 
i>\x) nicht Null wird. 
Sollte bei lim x = a sich wieder so verhalten wie ^, 
Tp (x) Tp {x) ’ 
also neuerdings die Form ^ annehmen, so kann der Satz, wenn alle 
darin ausgesprochenen Bedingungen erfüllt sind, von neuem angewendet 
werden usw. 
Mitunter bedarf es nur einer andern Schreibung, um eine Funk 
tion, welche die Form +? annimmt, so darzustellen, daß sie die 
Form " erlangt; dies gilt beispielsweise von für lim#