Die Form ^ 
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0 n - 
cotff (2n 4- 1) x . . x 
wenn man es in — x —— nmsetzt, von 
; . nx 
° 2 
COtffO? 
tsr 
Ttx 
wenn man tc 
dafür schreibt. 
für lim x = 0. 
Beispiele. 1. Die Funktion /(x) = — (n > 0) zeigt bei lim # = oo 
nach wiederholtem Differenzieren von Zähler und Nenner so lange 
die unbestimmte Form ^ , als im Nenner eine positive Potenz ver 
bleibt; da dies aber, wie groß auch n sein möge, einmal aufhören 
muß (76, 1.), so kommt man schließlich bei einem ganzzahligen n zu 
e x c x 
lim — = lim —r = oo , 
n\ ’ 
x = 00 x — 00 
bei einem gebrochenen, zwischen die ganzen Zahlen p und p -f- 1 
fallenden n zu 
¿c ¿c r v +1 - « je 
lim — = lim —-—r = lim ^ r = oo . 
X = *x n n{n-l)---{n-p)x n - p - 1 W ( W —!)...(«— p) 
Es wird also e x hei unendlich tvachsendem x unendlich groß von höherer 
Ordnung als jede positive Potenz von x. 
1/ CG ... • 
2. Bei der Funktion f[x) = {n > 0), die bei lim# = oo die 
x 
Form ^ aunimmt, führt schon einmalige Differentiation zum Ziele; 
denn 
lim = lim 
X = oc 
= lim 
= 0. 
nx 
Es wird also Ix hei unendlich wachsendem x unendlich groß von 
niedrigerer Ordnung als jede positive Potenz von x. 
3. Unter der Voraussetzung a > 0 erlangt f{x) 
11 gax 
ltgx 
für 
lim x 
-f 0 die Form ^ ; einmalige Anwendung des Satzes gibt 
sin 2 a x ’ 
rr n tgax a sin 2 a? 
hm fix) = lim = lim 
x = + 0 ' 
igx 
0 
und da der neue Bruch die Form — annimmt, so hat man weiter 
2 a cos 2 a? 
lim f{x) = lim 
x= + 0 
2 a cos 2 ax 
= 1.