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I, Abschnitt. 
Der Zahlbegriff. 
§ 1. Reelle Zahlen. 
1. Einleitende Bemerkung. Den Gegenstand der Arithmetik, 
Algebra und Analysis bilden die Zahlen. 
Der allgemeine Zahlbegriff, der die verschiedenen Arten von Zahlen 
umfaßt, mit welchen sich die genannten Teile der Mathematik be 
schäftigen, hat sich aus dem Urbegriff der natürlichen Zahlen ent 
wickelt; den Anlaß dazu gaben einerseits das Bedürfnis der Anpassung 
an die reale Wirklichkeit, anderseits die abstrakten Forderungen der 
Wissenschaft. 
Bei der Darstellung des Zahlbegriffs kann man, dem historischen, 
zugleich natürlichen Gange sich nähernd, den Ausgangspunkt von dem 
realen Ursprung der Zahlen nehmen oder aber auf den formalistischen 
Standpunkt sich stellen, der von einer Bezugnahme auf die reale Welt 
absieht. Darstellungen der letzteren Art sind im Gefolge der in neuerer 
Zeit gepflogenen kritischen Durchforschung der Mathematik auf ihre 
logischen Grundlagen entstanden. 
Handelt es sich um eine Einführung in die Mathematik, bei der 
wie hier die Anwendungen in den Vordergrund rücken, dann wird der 
erste Ausgangspunkt vorzuziehen sein. 
2. Natürliche Zahlen. Unter einer Menge versteht man einen 
Inbegriff von unterscheidbaren Objekten irgendwelcher Art. Die einzelnen 
Objekte werden Einheiten (Elemente) der Menge genannt. 
Die Menge ist bestimmt, wenn in einer jeden Zweifel ausschließenden 
Weise die Zugehörigkeit der Objekte zu ihr erkennbar ist. Die Objekte 
können konkret, mit den Sinnen wahrnehmbar sein oder nur in der 
Vorstellung existieren. 
Die Eigenschaften einer (konkreten) Menge, der Eindruck, den sie 
auf unsere Sinne ausübt, können von den verschiedensten Umständen 
abhängen und daher auch mannigfach abgeändert werden. Eine Menge 
verschieden gefärbter Kugeln wird je nach der räumlichen Anord 
nung, Konfiguration, je nach der Gruppierung der Farben einen ver 
schiedenen Eindruck auf das Gesicht machen, eine Menge von Pauken- 
Czuber, Höhere Mathematik. 1