Beispiele unbestimmter Formen. — Gewöhnliche Extreme. 
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Maximum, wenn sie daselbst vom Wachsen zum Abnehmen übergebt; 
und einen relativ kleinsten Wert oder ein Minimum, wenn sie vom 
Abnebmen zum Wachsen übergebt. Präziser und für die analytische 
Verwertung geeigneter gesagt, findet ein Extrem statt, wenn sich eine 
positive Zahl ö angeben läßt derart, daß entweder 
/(« — Ji) </{a) >/{a + h) (1) 
oder /(a — h) > f{a) < f(a + h), (2) 
so lange die positive Variable h der Bedingung 
h<ö 
genügt; die Beziehung (1) kennzeichnet ein Maximum, (2) ein Minimum. 
Die zulässige Größe von ö hängt davon ab, wie häufig die Funk 
tion den Sinn ihrer Änderung wechselt; hei Funktionen, bei denen 
Maxima und Minima in rascher Folge abwechseln, wird d klein ge 
wählt werden müssen; für die Zwecke der folgenden Untersuchung 
kann d beliebig klein gedacht werden. 
Die Begriffe des Maximums und Minimums sind von den Be 
griffen des größten und des kleinsten Wertes der Funktion im Inter 
vall (a, ß) wohl zu unterscheiden; der größte Wert schlechtweg braucht 
nicht mit einem Maximum und der kleinste Wert nicht mit einem 
Minimum im Sinne der obigen Definition identisch zu sein. Bei der 
Beurteilung dieser Frage muß der ganze Wertevorrat der Funktion, 
müssen also auch ihre Werte an den Enden des Intervalls in Betracht 
gezogen werden. 
Die Feststellung der extremen Werte hat in den angewandten 
Gebieten besondere Bedeutung, weil es sich hier häufig darum handelt, 
gerade diese Werte zu erzielen. 
86. Notwendige Bedingung bei Vorhandensein eines 
eigentlichen Differentialquotienten. Der Übergang vom Wachsen 
zum Abnehmen oder vom Abnehmen zum Wachsen kann in ver 
schiedener Weise vor sich gehen. Der gewöhnliche, die Regel bildende 
Fall ist der, daß die Funktion eigentliche Differentialquotienten be 
sitzt bis zu jener Ordnung, die bei der Untersuchung noch in Betracht 
kommt. Unter dieser Voraussetzung läßt sich zunächst der Satz 
nach weisen, daß an einer Stelle, an welcher die Funktion ein Extrem 
erlangt, ihre Ableitung notwendig verschwindet. 
Im Falle des Maximums folgt nämlich aus (1), daß 
fia — h) — f{a) ^ n f{a-f h) —/(o) ^ n 
-I, - >u h ^ ■ 
und da beide Quotienten mit lim h = 0 gegen eine und dieselbe Grenze 
konvergieren, so kann f\a) weder positiv noch negativ sein, es ist 
also notwendig gleich Null. 
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