148 Anwendungen der Differentialquotienten. § 2. Maxima und Minima usw. 
Im Falle des Minimums ist wegen (2) 
/(« — h) — f{a) ^ n f(a + h) —/(a) ^ 0 
— h ^ h ^ 
und die gleiche Schlußfolgerung führt zu der Erkenntnis, daß not 
wendig f\d) = 0 sein müsse. 
Hiernach lautet die erste Regel: Um die Stellen zu finden, an 
welchen eine mit einem eigentlichen Differentialquotienten begabte Funk 
tion f(x) extreme Werte annehmen kann, setze man f'(x) = 0 und löse 
diese Gleichung nach x auf. 
Die bedingte Formulierung ist dadurch geboten, daß ja f\x) auch 
an einer Stelle Null werden kann, in deren Umgebung f{x) wächst 
oder ahnimmt (71). 
Die unmittelbarste Entscheidung darüber, ob f(x) an einer Stelle 
x = a, die aus f{x) = 0 als Wurzel hervorgeht, tatsächlich einen ex 
tremen Wert erreicht, besteht in der Untersuchung des Verhaltens 
von fix) in einer beliebig engen Umgebung {a — d, a -f- d) in Bezug 
auf das Vorzeichen. Ist /'(x) in (a — d, a) positiv, in (a, a -f d) 
negativ, so ist f{a) ein Maximum, bei dem umgekehrten Verhalten 
ein Minimum. 
Die Funktion fix) = 2x’ — 3# 2 -f b beispielsweise hat die Ab 
leitung 
f\x) = Qx{x — 1), 
die an den Stellen x = 0 und x = 1 verschwindet. Nun ist, sobald 
0 < d < 1, 
/'(- S) - 6d(d + 1) > 0, f\S) = - 6Ä(1 - S) < 0, 
daher y(0) = b ein Maximum; ferner unter der gleichen Voraussetzung 
/'(1 - d) = - 6d(l - d) < 0, /'(1 + d) = 6d(l + d) > 0, 
daher _/(l) = b — 1 ein Minimum. 
87. Unterscheidung zwischen Maximum und Minimum. 
Bei Existenz auch höherer eigentlicher Differentialquotienten läßt sich 
die Entscheidung auf Grund dieser systematisch treffen. 
Da ein Maximum dadurch gekennzeichnet ist, daß innerhalb einer 
genügend eng begrenzten Umgebung 
f\a - h) > 0, /'(«) = 0, f{a + h) < 0, 
so folgt, daß 
f\a — h) > f(a) > f{a + h), 
daß also fix) in der Umgebung von a abnehmend ist; infolgedessen 
ist f\d) < 0 oder = 0. 
Einem Minimum entspricht das durch die Ansätze 
f{a — h) < 0, f(a) = 0, f{a + h") > 0