150 Anwendungen der Differentialquotienten. § 2. Maxima und Minima usw. 
ist, so wird 
~ /( w a) = ~ß n \d), 
(x-äf n - K ” 
woraus der für unsern Zweck wesentliche Umstand folgt, daß f{x) — f(a) 
schließlich, d. h. in einem genügend engen Intervall (a — d, a -f- d), 
das Vorzeichen von (x — a) n /( n \a) besitzt. 
Ist nun n gerad, so hat f{x) — f{a) in der ganzen durch dieses 
Intervall bezeichneten Umgebung beständig dasselbe Vorzeichen, und 
zwar das von (a); folglich ist f{a) ein Minimum, wenn(a) > 0, 
ein Maximum, wenn a) < 0 ist. 
Bei ungeradem n hingegen wechselt f(x) — f{ci) sein Vorzeichen 
heim Übergang von der einen Seite der Stelle a zur andern, es findet 
ein extremer Wert nicht statt; vielmehr ist /(x) in der Umgebung 
von a wachsend, wenn /^(a) > 0, abnehmend, wenn /^(a) < 0 ist. 
Demnach lautet die alle Fälle umfassende Regel: An einer Stelle 
x = a, die der Gleichung f'{x) = 0 genügt, erlangt /(x) ein Extrem mir 
dann, wenn die nächste an dieser Stelle nicht verschwindende Ableitung 
von gerader Ordnung ist; ist sie negativ, so ist /{a) ein Maximum, 
dagegen ein Minimum, wenn diese Ableitung positiv ist. 
Bei der Darstellung von fix) durch die Ordinaten einer Kurve 
hat das gemeinsame Merkmal von Maximum und Minimum, d. i. 
/'(a) — 0, eine anschauliche Bedeutung; es besagt, daß in den Punkten 
der Kurve, zu welchen extreme Werte von f{x) gehören, die Tan 
gente parallel ist zur Abszissenachse (56). 
89. Beispiele. 1. Die in 86 behandelte Funktion fix) 
= 2x 3 —3x 2 + b erledigt sich mit Hilfe der zweiten Ableitung /"(x) 
= 12x — 6, wie folgt: es ist 
/"(0) — — 6 < 0, daher /(0) = b ein Maximum, 
/"(1) = 6 > 0, daher /(1) = 6—1 ein Minimum. 
2. Für /(x) — ergibt sich durch Nullsetzen von / ' {x) = 
x = e als die einzige Stelle, an der ein extremer Wert stattfinden 
kann; da ferner f\x) = somit f”(e) = ß3 1 < 0, so ist f(e) = ^ 
der Maximalwert der Funktion. 
3. Die Frage, ob es ein Logarithmensystem gibt, in dem einmal 
der Logarithmus mit dem Numerus übereinstimrat, kann in folgender 
Weise erledigt werden. Setzt man 
log a x — x = y, a > 1, 
so hat man es mit einer Funktion zu tun, die sowohl für kleine 
(unter 1 liegende) als auch für große positive Werte von x negativ 
ist; wenn also ihr Maximalwert positiv oder Null ist, so tritt der 
Fall y = 0 notwendig (zwei- oder einmal) ein (51, 3).