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Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
Schlägen verschieden auf das Gehör wirken, je nachdem die Schläge 
in längeren Pausen aufeinander folgen oder zu einem Wirbel ver 
einigt sind. 
Die Eigenschaft einer Menge, die unabhängig ist von der Natur der 
Einheiten, von ihrer (räumlichen oder zeitlichen) Anordnung, die also 
unverändert erhalten hleibt, wenn man die Einheiten einzeln durch andere 
unterscheidbare Objekte ersetzt oder untereinander vertauscht (sofern dies 
möglich), nennt man die Quantität der Menge. 
Alle anderen Eigenschaften machen die Qualität der Menge aus. 
So verschieden aber die Eigenschaften der einzelnen Einheiten sein 
können, so werden sie doch „kraft ihrer Zugehörigkeit zur Menge“ 
als gleichartig angesehen. Neben dieser rein konventionellen können 
die Einheiten auch eine wesentliche Gleichartigkeit auf weisen, in 
dem sie Spezialisierungen einer Gattung bilden. — Ein Kasten, ein 
Tisch, ein Stuhl, ein Mensch, ein Hund, ein Yogel und eine Pflanze 
bilden eine Menge, sofern sie z. B. die in einem geschlossenen Raume 
befindlichen Objekte ausmachen, und nur insofern sie zum Inhalte des 
Raumes gehören, werden sie als gleichartig aufgefaßt. — Mehrere in 
einem Zimmer versammelte Personen bilden eine Menge von auch 
wesentlich gleichartigen Einheiten — Wenn von Mengen gleichartiger 
Einheiten gesprochen wird, so ist dies zumeist im letztgedachten Sinne 
gemeint. Es ist hiernach auch klar, was unter gleichartigen Mengen 
zu verstehen ist. 
3. Um zwei Mengen auf ihre Quantität miteinander zu vergleichen, 
bildet man sie aufeinander ab. Hierunter soll ein (effektiver oder ge 
danklicher Prozeß) verstanden werden, durch welchen die Einheiten 
der einen Menge einzeln den Einheiten der andern Menge zugeordnet, 
auf sie bezogen werden. 
Bei zwei Mengen von Kugeln kann mau diesen Prozeß beispiels 
weise so ausgeführt denken, daß man jedesmal einer Kugel der einen 
Menge und gleichzeitig einer Kugel der andern Menge ein Zeichen 
macht, wobei eine bereits gezeichnete Kugel nicht wieder einbezogen 
werden darf. 
Wenn bei dem Abbilden zweier Mengen aufeinander beide erschöpft 
werden, so nennt man die Mengen in bezug auf die Quantität gleich. 
Alle Mengen, die sich in solcher Weise auf eine Vergleichsmenge 
abbilden lassen, sind quantitätsgleich. Denn mit der Abbildung auf 
die Yergleichsmenge geht auch eine Abbildung der Mengen aufein 
ander einher, indem die Einheiten der einzelnen Mengen, die auf die 
nämliche Einheit der Yergleichsmenge abgebildet werden, auch auf 
einander abgebildet sind. 
Wenn bei dem Abbilden zweier Mengen aufeinander die eine er 
schöpft wird, während von der andern noch Einheiten verbleiben, die 
an der Abbildung nicht teilgenommen haben, so soll die Quantität