Beispiele von Extremwerten. 
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und die notwendige Bedingung für ein Extrem lautet: 
ds x c — x 
c — x 
oder in den Linien der Figur ausgedrückt: 
A'P _ PIT 
XP — ~BP 5 
daraus schließt man auf die Ähnlichkeit der Dreiecke AA'P und 
BB'P und hieraus wieder auf die Gleichheit der Winkel X'PA und 
XPB. Die Konstruktion von P geschieht in der Weise, daß B'B t 
= BB' gemacht und A mit B 1 verbunden wird. 
Hiernach ist das Reflexionsgesetz ein Okonomiegesetz der Natur: 
die Fortpflanzung des Lichtes, des Schalles u. a. durch Reflexion er 
folgt so, daß von einer Stelle zur andern der kürzestmöglichste Weg 
erforderlich ist. 
Die direkte Verfolgung der Bedingungsgleichung (cc) führt nach 
Beseitigung der Irrationalitäten und der Nenner zu der quadratischen 
Gleichung 
iß) 
(b 2 — a 2 )x 2 -f- 2a 2 cx — a 2 c 2 = 0 
und diese gibt die beiden Wurzeln 
ac 
OCn — 7 • 
z a — h 1 
Xl a + b’ 
die erste leitet auf die gefundene Lösung hin; denn aus der hervor 
gehobenen Ähnlichkeit folgt 
A'P : a = (c — A'P) : h 
woraus 
Die zweite Lösung ist der gestellten Aufgabe fremd und rührt daher, 
daß die Gleichung (/3) umfassender ist als (cc) infolge der ausgeführteu 
Quadrierung; die Gleichung (/3) schließt auch die Bedingung für das 
Maximum von AP — BP oder von 
]/a 2 + x 2 — Yb 2 + (c — x) 2 
in sich und hierfür gilt x 2 , das den Schnittpunkt Q der Geraden AB 
mit XX' bestimmt; in der Tat ist 
AP - PB < AB, 
daher AB der Maximalwert der Differenz AP — PB, welcher sich 
dann einstellt, wenn P mit Q zusammenfällt. 
Man hätte auch von der folgenden Betrachtung ausgehen können. 
Der Ort der Punkte P, für welche AP + PB einen bestimmten 
konstanten Wert s hat, ist eine Ellipse mit den Brennpunkten AB 
und der großen Achse s (Pig. 37); die kleinste unter diesen (konfo-