Beispiele von Extremwerten. — Außergewöhnliche Extreme. 
157 
Man erkennt hierin das Refraktionsgesetz der Optik. Die Fort 
pflanzung des Lichtes aus einem Medium nach einem von anderer 
optischer Dichte geht also so vor sich, daß das Licht von einer 
Stelle zu einer andern in möglichst kurzer Zeit gelangt. 
12. Ein Kreiszylinder von gegebenem Volumen ist so zu formen, 
daß er eine möglichst kleine Oberfläche erhalte. 
Bezeichnet man Radius, Höhe und Volumen des Zylinders mit 
x, y, v, so ist seine Oberfläche 
0 = 2 %x(x + y), 
und weil 7tx 2 y = v, auch 
0 = 2tcx (x H—= 2nx? + — 
sie erlangt ihren größten Wert, wenn 
2jtx —~ = 0, 
also x = y un( ^ we ^ dann y = 80 ist V = der frag 
liche Zylinder also gleichseitig; min 0 — 3 \ / 2Ttv^. 
90. Außergewöhnliche Extreme. Darunter werden solche 
Maxima und Minima verstanden, die mit einem besonderen, von dem 
bisherigen abweichenden Verhalten des Differentialquotienten verbunden 
sind und daher durch das in 86 entwickelte Verfahren nicht gefunden 
werden können. 
1. Wenn die abgeleitete Funktion f {x) an einer Stelle x = a 
aufhört definiert zu sein, wenn aber fix) selbst an dieser Stelle be 
stimmt ist und einen linken und einen rechten Difierentialquotienten 
zuläßt, die ungleich bezeichnet sind, so ist /(et) ein Maximum oder 
ein Minimum je nach der Aufeinanderfolge der Vorzeichen. 
Ist z. B. der linke Differentialquotient positiv, so wird 
f{a — h) —f{a) 
— h 
schließlich, d. h. in gehöriger Nähe von a, positiv, folglich 
/0 - Ä) </0) 
bleiben müssen; ist gleichzeitig der rechte Differentialquotient negativ, 
so wird 
fjfl + *) — /0) 
h 
schließlich negativ, also 
/0) > /0 + ä) 
bleiben müssen; durch diese Relationen 
/0 - fe) </0) >/0 + h )