164 Determinanten. § 3. Haupteigenscliaften der Determinanten. 
Bei der Entwicklung der dreizeiligen Determinante 
a x b x c x 
R = a 2 b 2 c 2 
a 3 b 3 c 3 
kann man in dem Hauptgiiede a x b 2 c 3 entweder die Zeiger oder die 
Buchstaben permutieren und bat dann aus der Anzahl der Inversionen 
das Zeichen zu bestimmen; man findet so: 
II = a x h,c 3 — a x b 3 c 2 — a 2 h 1 c 3 -f- a 2 b 3 c x + +b x c 2 — a 3 b 2 c x 
R = a x b 2 c 3 — a x c 2 b 3 — fe 1 a 2 c 3 + &i c 2 a 3 + c x a 2 b 3 — c x b 2 a 3 ; 
die Zeichenstellung ist in beiden Entwicklungen dieselbe, weil das 
Permutiereu nach der nämlichen Regel erfolgte; die Übereinstimmung 
erkennt man durch gliedweise Vergleichung. 
Nach einem von Sarrus angegebenen Ver 
fahren geschieht die Entwicklung der dreizeiligen 
Determinante mechanisch so, daß man die Pro 
dukte der drei im nebenstehenden Bilde durch volle 
Linien verbundenen Elemententripel additiv, die 
Produkte der drei durch punktierte Linien ver 
bundenen Elemententripel subtraktivansetzt. Nach 
diesem Verfahren ergibt sich beispielsweise 
123 
4 5 6 =45 + 84 + 96 — 105 —48 — 72 = 0. 
7 8 9 
§ 3. Haupteigenscliaften der Determinanten. 
97. Gleichberechtigung von Zeilen und Kolonnen. Wenn 
man in einet' Determinante die Kolonnen in derselben Reihenfolge m 
Zeilen macht, so behält sie ihren Wert bei. 
Die beschriebene Umgestaltung verwandelt nämlich 
o O 
R = 
a il a V2 
^21 +!2 ’ 
• a i n 
•«2 » 
in R' = 
a xx a 2x • 
+2 ^22 ' 
•+2 
®«1 +2 • 
• a nn 
a i n a 2n ‘ 
• a nn 
und läßt die Hauptdiagonale, also auch das Hauptglied, a n a 22 ■ • • a nn 
ungeändert; die Entwicklung von R durch Permutierung der Kolonnen 
zeiger gibt dasselbe wie die Entwicklung von R' durch Permutierung 
der Zeilenzeiger; mithin ist = _R. 
Vermöge dieser Gleichberechtigung gelten Sätze, die man bezüg 
lich der Zeilen nachgewiesen hat, auch bezüglich der Kolonnen und 
umgekehrt.