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Natürliche Zahlen. 
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der zweiten größer heißen als die der ersten, jene der ersten Meiner 
als die der zweiten. 
Die Quantität ist demnach eine Eigenschaft, die verschiedener 
Grade fähig ist. 
4. Zur Bezeichnung dieser Grade dienen die Zahlen. 
Eine Zahl ist hiernach der Ausdruck für den Quantitätsgrad einer 
Menge und aller mit ihr quantitätsgleichen Mengen. Die Beziehungen 
„größer“, „kleiner“ überträgt man von den Mengen auf die zugehörigen 
Zahlen. Darin, daß die Zahl sich nur auf die eine Eigenschaft einer 
Menge bezieht und von allen andern absieht, liegt der Grund für die 
außerordentlich große Anwendbarkeit der Zahlen. 
Um die Quantitätsgrade wohlgeordnet zu erzeugen, gehe man von 
einer Einheit (als einer uneigentlichen Menge) aus, füge zu ihr eine 
weitere Einheit, zu der so gebildeten Menge eine neue Einheit, und 
fahre so fort; gedanklich besteht kein Hindernis, dieses Verfahren 
ohne Ende fortzusetzen. Den Quantitätsgraden der auf diese Art nach 
und nach entstandenen Mengen ordnet man (für den mündlichen Ver 
kehr) Namen — Zahlwörter —, (für die schriftliche Mitteilung) 
Zeichen — Zahlzeichen — zu. 
Die hierdurch ausgedrückten Zahlen heißen natürliche Zahlen und 
bilden in der eben beschriebenen Aufeinanderfolge die natürliche 
Zahlenreihe. In Worten: eins, zwei, drei, vier . . ., in Zeichen: 1, 2, 
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Man kann mit den natürlichen Zahlen auch die Null (0) einführen 
als Ausdruck (Zeichen) für die Negation einer Menge, für das Nicht 
vorhandensein jeglicher Einheit. Indessen ist es nicht gebräuchlich, 
sie in die natürliche Zahlenreihe aufzunehmen, von „der sie dann den 
Anfang zu bilden hätte. 
Solange man es nur mit Mengen bis zu einer bestimmten (mäßigen) 
Größe zu tun hat, könnten Zahlwörter und Zahlzeichen willkürlich 
gebildet werden, um dem beschränkten Bedürfnis zu genügen. So 
bald aber die Notwendigkeit oder das Verlangen vorliegt, beliebig 
große Mengen ihrer Quantität nach zu kennzeichnen, ist ein Bildungs 
prinzip für Namen und Zeichen erforderlich. Wir besitzen hierfür 
jenes Prinzip, das dem dekadischen Zahlensystem zugrunde liegt. 
5. Um die Quantität einer Menge zu bestimmen, sie zu zählen 
(abzuzählen), bezieht man ihre Einheiten in irgendeiner Anordnung 
auf die Glieder der natürlichen Zahlenreihe; die zur letzten Einheit 
gehörige Zahl bestimmt die Quantität der Menge. 
Statt von der Quantität der Menge spricht man auch von der An 
zahl der in ihr enthaltenen Einheiten. 
Insofern die Zahl dazu dient, die Anzahl der Einheiten in einer 
Menge auszudrücken, heißt sie Kardinalzahl. Sie kommt dann auf 
die Frage „wie viel?“ zur Antwort.