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Determinanten. § 4. Unterdeterminanten. 
Von den Hauptgliedern ist dies unmittelbar zu erkennen; daß 
es auch von irgendzwei andern Gliedern gilt, ist in bezug auf den 
absoluten Wert daraus ersichtlich, daß aus jeder Zeile und jeder 
Kolonne von II ein Element in einem solchen Produkt vorkommt; in 
bezug auf das Zeichen ergibt sich die Richtigkeit der Behauptung aus 
folgender Erwägung: Ist a lcfi a 2a ^ • • • a rctr ein Glied von A t , a r+1 ^ x 
a r + 2,ß^' ' ■ a n,ß n _ e ^ n Glied von B v so richten sich deren Vorzeichen 
nach den Permutationsformen (a) = cq a 2 ■ • • cc r und (ß) = ß x ß 2 • • • ß n _ r , 
das Vorzeichen des Produktes aber ist nach der Permutationsform 
«i ß 2 • • • oc r ßi ßz ‘ ‘ ' ß n _ r zu bestimmen; diese hat nun so viel Inver 
sionen als (a) und (ß) zusammen, gehört also zur geraden oder un 
geraden Klasse, jenachdem (a) und (/3) zur selben oder zu verschiedenen 
Klassen gehören; dies stimmt aber mit der Zeichenregel der Multipli 
kation überein. 
Man nennt Paare von Unterdeterminanten, die im Produkt Glieder 
von B ergeben, adjungierte Unterdeterminanten. 
103. Den Elementen adjungierte Unterdeterminanten. 
Jedem Element von 
(hl 
®12 " 
• a in 
B = 
a n 
£?22 ‘ 
a m 
a n2 • 
• (1 nn 
ist eine Determinante n—1-ten Grades adjungiert; die zum Element 
a ik gehörige werde mit a ik bezeichnet. Unmittelbar abzulesen ist die 
zum ersten Element a iX adjungierte cc lv indem 
(I22 ^23 * 
%2 ^33 ‘ 
• «Sn 
a ni a i& ‘ 
■ a n n 
Ihre Matrix wird erhalten, indem man in der Matrix von B jene Zeile 
und Kolonne unterdrückt, denen a n angehört. 
Um a ik zu erhalten, hat man nur nötig, B derart umzuformen, 
daß a ik an die erste Stelle kommt; dann läßt sich a ik wieder unmittel 
bar ablesen. 
I. Die Umformung kann dadurch geschehen, daß man die ersten 
i Zeilen und die ersten k Kolonnen zyklisch permutiert. Nach 93 ist 
dies äquivalent mit i — 1 -{-k — l = — 2 Transpositionen von 
Reihen; die umgeformte Determinante erhält daher das Zeichen 
(- l) i+ *- 2 = (- !)*+*, so daß