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Determinanten. § 4. ünterdeterminanten. 
II. Das Element a ik wird auch dadurch an die erste Stelle ge 
bracht, daß man alle Zeilen 7—1-mal und alle Kolonnen k—1-mal 
zyklisch vertauscht. Da dies äquivalent ist (i— 1 + Je— V)(n — 1) 
= (i + Je)in—1) — 2(n— 1) Transpositionen von Reihen, so kommt 
der umgeformten Determinante das Vorzeichen (—!)(*+*)(«-!)- 2 («-i) 
= (— 1) (*+*)(”- J ) zu, das sich auch auf die jetzt unmittelbar abzu- 
lesende Unterdeterminante überträgt; diese lautet, da die zyklische 
Ordnung der Reihen ungestört bleibt, wie folgt: 
cc 
ik 
(_ !)(<+■*)(«-1) 
a i+l,k+l ■ 
a i + l,n a i + 1,1 
’ a i+l,k-l 
a i + 2,k + l ’ 
ü i + 2, * -1 
a n, k + l 
a n,k- 1 
a X,k + X 
a i,k-1 
a i-\,k + l ’ 
' a i-l,n a i-1,1 ’ 
' a i-l,k-l 
Bei ungeradem n ist das Vorzeichen immer +, bei geradem n 
richtet es sich nach dem Gewicht wie bei der vorigen Regel. 
Nach diesem Verfahren ergeben sich für 
a i h x c x 
a 2 h 2 c. 2 
a 3 h 3 c.g 
die Unterdeterminanten: 
hg Cg 
i ^2 hg 
a c x a x 
Yx — , , 
p« = usw. 
h Ci 
| ttg hg 
c 2 ( h 
für die obige Determinante vierten Grades die Ünterdeterminanten; 
6?2 ^2 ^2 
hg Cg dg 
d 3 ^ 
, a. 2 = — 
h ^ c 4 (ly 
usw. 
d± a 4 ft 4 
hx c x d x 
104. Zusammenfassung der Glieder einer Determinante, 
die ein oder mehrere Elemente gemein haben. Es liegt im 
Begriff der adjungierten Ünterdeterminanten, daß das Produkt aus 
einem Element a ik mit der ihm adjungierten Unterdeterminante a ik 
die Zusammenfassung aller Glieder von H gibt, die a ik zum Faktor 
haben; solcher Glieder gibt es also (n — 1)!. 
Ist a lm ein Element von a ik und a'i m seine adjungierte Unter 
determinante in bezug auf a ik , also eine Unterdeterminaute n — 2ten 
Grades von jR, so ist ci ik a lm a'i m die Vereinigung aller Glieder von JR, 
die das Elementenpaar a ik , a lm (i 4= l, k 4= w&) enthalten; ihre Anzahl 
ist (n — 2)1 Das Elementensystein von a\ m entsteht aus der Matrix