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Determinanten. § 4. Unterdeterminanten. 
Man nennt die linke Seite von (I) die Entwicklung von R nach 
den Elementen der i-ten Zeile und analog die linke Seite von (I*) die 
Entwicklung von II nach den Elementen der k-ten Kolonne. 
Die nächstliegende Folge dieses Hauptsatzes ist es, daß mit seiner 
Hilfe die Ausrechnung einer Determinante w-ten Grades zurückgeführt 
werden kann auf die Ausrechnung von Determinanten n— 1-ten Grades 
und so fortschreitend bis zu Determinanten 3. und 2. Grades. 
In den Gleichungen (I) und (I*) sind 2n verschiedene Wertdar 
stellungen der Determinante R zusammengefaßt. Einzeln lauten sie 
z. B. für die Determinante dritten Grades 
wie folgt: 
R = 
a i h x c x 
O2 ^2 '2 
a 3 b 3 Cg 
h a x «i -f- b 1 ß x -(- c x y x a 2 cc 2 -f- b 2 ß 2 -\- c 2 y 2 — a 3 a 3 -)- l) 3 ß 3 -f- c 3 y 3 
= a 1 a 1 + a 2 cc 2 + a 3 a 3 =\ß 1 + b 2 ß 2 + h 3 ß 3 =c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 . 
106. Zweiter Hauptsatz. Eie Summe der Produkte aus den 
Elementen einer Reihe mit den adjungierten Unterdeterminanten zu einer 
andern parallelen Reihe ist gleich Null. 
Ersetzt man in R die Elemente 
der Uten Zeile durch jene einer andern, z. B. der J-ten Zeile: 
a j2> ' ' ‘ a jn) 
so hat dies auf die Unterdeterminanten 
keinen Einfluß, R aber geht in eine Determinante mit zwei gleichen 
parallelen Reihen über, und eine solche hat den Wert Null (99); 
mithin ist 
a j\ a il + a j2 a i2 + ’ ' • + a jn a in = 0; (*' + /) (H) 
ebenso ergibt sich in bezug auf Kolonnen: 
Vl* + «2|«2t H + Vnk = (» + *) (H*) 
In den Ansätzen (II) und (11*) sind 2n(n—1) einzelne Gleich 
ungen enthalten, die mit den 2n-Gleichungen aus dem ersten Haupt 
satze 2 n 2 -Gleichungen zwischen den Elementen von R und den ihnen 
adjungierten Unterdeterminanten darstellen. 
Für die obige Determinante dritten Grades lauten die zwölf 
Gleichungen des zweiten Hauptsatzes: