Weitere Eigenschaften der Determinanten. 
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0 = a i cc 2 -f- b^ ß 2 -f- Cj y 2 = a 1 a 3 -f- b, ß 3 -(- c\ y 3 
= « 2 cii -(- b 2 ß 1 c 2 y 1 = a 2 a 3 + k 2 ßa + c 2 7s 
= «3«i 4* 1*3 ßl d - C s7l = «3«2 “1“ h ß'2 “f“ C 3 72 
0 = a 1 ß 1 + « 2 &> 4- « 3 ß 3 = «i7i + «272 + «37a 
= Mi 4- M2 + Ms = Mi + M 2 + Ms 
~ «i«i 4" ^2 «2 d“ «3«3 ~ ^ißl d“ «2^2 d~ ^äßä' 
107. Additionsregel. TFmn inan zu den Elementen einer Reihe 
die mit einem beliebigen Faktor multiplizierten Elemente einer parallelen 
Reihe addiert, so ändert die Determinante ihren Wert nicht. 
Aus (I*) und (II*) folgt beispielsweise 
(«1* + + (, a 2k J rP a 2l) CC 2k J r • • • + (««* J rl )a nl) a nk = 
d. h. 
«11 «12 ' 
‘ «1 k ‘ 
•«ir- 
•«1« 
^11 ^12 * 
• «u-+i>«ir 
• «u- 
• «Im 
«21 «22 * 
' «2 k ‘ 
' «21" 
•«2« 
= 
• « 2 *+i>«2i • 
■ «21 ' 
• «2m 
«Ml««2' 
- a nl• 
• «M M 
«nl «n2■ 
••«*i+l>«ni-- 
■ «nl • 
*«mm 
Die Regel kann auch auf Zeilen angewendet und auf mehrere 
Reihen ausgedehnt werden. 
Hiernach ist z. B. 
1 x x — a y 1 — b 
1 x 1 y x 
1 x 2 — a y 2 — b 
= 
1 X* y. 2 
1 x 3 — a y 3 — b 
1 y$ 
wie man durch Addition der mit a, bzw. b multiplizierten ersten 
Kolonne zur zweiten, bzw. dritten findet; es hängt also der Wert der 
linksstehenden Determinante von a und b gar nicht ab. 
108. Verminderung und Erhöhung des G-rades einer 
Determinante. Der Grad einer Determinante vermindert sich sofort 
um 1, wenn in einer Reihe nur ei/n von Null verschiedenes Element 
steht; es ist nämlich eine Folge des ersten Hauptsatzes, daß dann die 
Determinante gleich ist dem von Null verschiedenen Element multipliziert 
mit der ihm adjungierten Unterdeterminante. 
So ist 
«11 «12 ’ 
0 «2 2 ■ 
0 a 32 • 
•«IM 
• «2m 
• «3m 
= «11 
«32 " 
• «2m 
‘ «3M 
(M 
■ ^8 
. O 
••«mm 
«m2 • 
■ «MM