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Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
Die beim Zählen einer „geordneten“ Menge auf eine bestimmte 
Einheit treffende Zahl kann aber auch dazu dienen, die Stellung der 
Einheit in der Menge zu kennzeichnen. In dieser Verwendung heißt 
die Zahl eine Ordinalzahl; ihr Name (oder ihr Zeichen) wird adjek 
tivisch gebraucht und kommt in dieser Form auf die Frage „der (die, 
das) wievielte?“ zur Antwort. Drei (3) Glockenschläge — der dritte 
(3.) Glockenschlag. 
Es ist auch die Anschauung ausgesprochen worden, der Begriff 
der Ordinalzahlen sei der ursprüngliche und der der Kardinalzahlen 
von ihm abgeleitet. Auch die Auffassung ist in der Literatur ver 
treten, die in der Zahlenreihe nur Zeichen in bestimmter Sukzession, 
ohne Bezugnahme auf Mengen, erblickt. 
Der eingangs beschriebene primitive Zählprozeß erfährt für prak 
tische Zwecke eine weitgehende Ausgestaltung, die schon in das Ge 
biet der Arithmetik fällt. 
Der unmittelbaren Erfassung der Quantität einer Menge sind selbst 
bei großer Übung enge Schranken gesetzt; nur ganz kleine Mengen 
wird man auf den ersten Blick ihrer Quantität nach erkennen, und 
selbst da spielt die Konfiguration eine große Rolle. Man denke an 
Dominosteine, an Kartenblätter, an die regelmäßige Anordnung von 
Münzen u. dgl. zum Zwecke des Zählens. Kommt es so schon bei 
Mengen von fünf, sechs, sieben, . . . Einheiten auf die Konfiguration 
an, so wird es bei größeren Mengen auch trotz regelmäßiger Anord 
nung mit einem einfachen Apperzeptionsakt nicht abgehen. 
Um sich von dem durch eine Zahl ausgedrückten Quantitätsgrade 
eine anschauliche Vorstellung zu bilden, konstruiert mau auf dem 
selben Wege, auf welchem eine bereits vorliegende Menge gezählt 
wird, eine Menge aus beliebigen Einheiten [Kugeln, Münzen, Stäbchen, 
Strichen (1, Einern)]. Derselbe Vorgang wird befolgt, wenn es sich 
darum handelt, eine gegebene Zahl in vorgeschriebenen Einheiten zu 
realisieren (zuzählen von Äpfeln, Nüssen, Eiern, Münzen u. dgl.). 
Neben den besonderen Zahlzeichen, welche die natürliche Zahlen 
reihe zusammensetzen, benützt man in der Mathematik allgemeine Zahl 
zeichen in Form von Buchstaben. 
Mit der Aussage: a sei eine natürliche Zahl, ist gemeint, unter 
a könne jede Zahl der natürlichen Zahlenreihe verstanden werden. 
Sind a, b zwei Zahlen dieser Reihe in der Sukzession, in welcher 
sie darin auftreten, so ist a kleiner als b (a < 5), b größer als a 
(b > d). 
6. Addition. Wenn zwei bereits gezählte Mengen A, B, denen 
die Zahlen a, b zukommen, zu einer Menge zusammengefaßt werden, 
so ensteht die Frage nach der ihrer Vereinigung entsprechenden Zahl. 
Die Forderung, diese zu finden, wird durch eines der Symbole 
a -f- b, b -f- a 
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