Entwicklung nach Unterdetenninanten beliebigen Grades. 
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wie in 101 erklärt worden, ist ein erstes Paar adjungierter ünter- 
detenninanten der vorgezeiclineten Art 
Al = (a u «22 • • • a rr) > = (°V + l,r + l a r + 2,r + 2 ’ ' ' ff nJ' 
Um ein neues Paar zu erhalten, das andere Glieder von B liefert 
als AiBi, hat man eine andere Kombination von r Kolonnen an den 
Anfang zu stellen, die übrigen Kolonnen in der natürlichen Ordnung 
folgen zu lassen und unter Berücksichtigung des Vorzeichens der um 
geformten Determinante dieselbe Teilung der Matrix vorzunehmen usw. 
Bezeichnet man die = q Kombinationen r-ter Klasse der Elemente 
1, 2, • • • n in der Reihenfolge, in der sie nach den Regeln der Kom 
binationslehre aufeinander folgen, mit 1, 2, • • • p, bestimmt zu jeder 
durch die übrigen n — r Elemente ergänzten Kombination das Vor- 
zeichen gemäß der Anzahl der Inversionen, so geben die zugehörigen 
Produkte A x JBi, Ä. 2 JB 2 , - ■ A^B^ mit den betreffenden Vorzeichen ver 
sehen sämtliche Glieder von B, so daß sich B in der Form 
1 
darstellt. In der Tat gibt jedes Glied dieser Summe r\{n — r)\ Glieder 
von B; alle Glieder zusammen liefern also 
Qr\(n-r)\ = -£[_ r) , r\ (n — r) \ = n\ 
verschiedene, somit alle Glieder von B. 
Man hat also den Satz: Eine Determinante n-ten Grades ist auf 
lösbar in Produkte von Unterdeterminanten r-tcn und n-r-ten 
Grades, wovon die ersten einer bestimmten Kombination von r parallelen 
Bedien, die andern den übrigen n — r Bedien gleicher Art entnommen sind. 
Als Beispiel diene die Entwicklung von 
B = 
Ct-^ C( 2 ^ 
\ \ \ \ h 
( ‘l C 2 C 3 C 4 C 5 
d x d 2 d 3 d x d 5 
6 1 e 2 € 3 6 4 e 5 
nach den Unterdeterminanten der ersten zwei Zeilen; sie ist durch 
das folgende Schema in leicht verständlicher Weise dargestellt: 
B = 12 1 345 - 18 | 245 + 141 235 - 15 | 234 
+ 23 1145 — 24 1135 + 25 | 134 
+ 34 |125-35 (124 
+ 45 1123;