Addition. 
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ausgedrückt; die Operation, durch welche die neue, stets existierende 
und einzige Zahl gefunden wird, nennt mau Addition, ihr Resultat, 
eben die neue Zahl, Summe, die Zahlen a, b Summanden oder Addenden. 
Die Addition kann so ausgeführt werden, daß man in der natür 
lichen Zahlenreihe, von der einen Zahl ausgehend, um so viele Ein 
heiten weiterzählt, als die zweite Zahl angibt; das Resultat ist eine 
bestimmte Zahl s, unabhängig von der Reihenfolge der Addenden. 
Diese Tatsachen drückt man in den Ansätzen 
(2) 
(3) 
a -\-b = s 
a -f h ==b + a 
aus. Solche Ansätze nennt man Gleichungen; ihr Sinn erfordert in 
jedem Falle eine Erklärung. 
Gleichung (2) besagt, daß s so viele Einheiten zählt als a und b 
zusammen. Aus ihr folgt a < s, b < s. 
Gleichung (3) besagt, daß das Resultat der Addition unabhängig ist 
von der Ordnung der Summanden; sie drückt das kommutative Gesetz 
der Addition aus. 
Sind drei Mengen Ä, B, G, welchen die Zahlen a, b, c entsprechen, 
zusammenzufassen, so wird die Forderung, die ihrer Vereinigung ent 
sprechende Zahl zu finden, durch das Symbol a -f- b -f c oder ein ana 
loges ausgedrückt, das sich von diesem nur durch die Ordnung der 
Buchstaben unterscheidet; ausgeführt kann sie auch so werden, daß 
man erst irgend zwei der Mengen zusammengefaßt denkt und die zu 
gehörige Zahl bestimmt, daraufhin die dritte Menge einbezieht; die 
Ansätze 
a -f- b -j- c — (a -)- &) -j- c = a -(- (b -J- c) — • • • 
(4) 
drücken die Tatsache aus, daß das Resultat bei jeder dieser Aus 
führungsarten das nämliche ist, sie formulieren das assoziative Gesetz 
der Addition. 
Die Klammern dienen dazu, die sukzessive Summenbildung anzu- 
deuten. 
Man kann auf diese Art zu beliebig vielen Summanden fortschreiten. 
Die Arithmetik hat mechanische Regeln ausgebildet, mit deren Hilfe 
die Addition von beliebig vielen, beliebig großen Zahlen mit einem 
geringen Wissensvorrat (die Summen je zweier der Zahlen 1,2, • • • 9) 
bewerkstelligt wird. 
Die beiden an der Addition erkannten Gesetze, das kommutative 
und das assoziative, machen ihr WMsen aus. Ihr Begriff kann dahin 
erweitert werden, daß man jeder Verknüpfung von irgendwelchen Ob 
jekten, der in bezug auf ein bestimmt definiertes Resultat diese Ge 
setze zukommen, den Namen Addition beilegt. (Geometrische Addi 
tion gerichteter Strecken.)