Multiplikationstheorem. 
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Um eine Anwendung von dem Multiplikationstheorem liier schon 
zn gehen, seien a, h, c, d vier komplexe Zahlen und a', V, c, d' die 
ihnen konjugierten, so daß aa eine Summe von zwei Quadraten, die 
Norm von \a (und von a), N(a), ist (18); ebenso für die andern 
Paare. Unter dieser Annahme hat man: 
ac + Id 
—h'c + a'd 
a h 
—V a 
c d 
-cV c' 
N(a) + N{h) 
N(c) + N(d) 
a h 
c d 
\ —h' a —d' c' 
ad' + hc 
h'd' + ac 
N{ac 4- hd) + N(— ad' + hc'), 
folglich 
[N(a) + N{bJ] [N(c) + N(d)] = N(ac + hd) + N{-ad' + hc). 
Hierin spricht sich die Tatsache aus, daß das Produkt zweier 
Summen von je vier Quadraten wieder als Summe von vier Quadraten 
dargestellt werden kann. 
Ist beispielsweise 
et = 1 + 2i, & = 3 + 4i, c = 5 + 6i, d=T + 8i, 
so hat man im Sinne obiger Ausführung 
(12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 ) (5 2 + 6 2 + V + 8 2 ) = 4 2 + 16 2 + 18 2 + 68 2 . 
115. Produkt zweier Determinanten ungleichen Grades. 
Um von dem Satz der vorigen Nummer Gebrauch machen zu können, 
erhöht man den Grad der niedrigeren Determinante durch Rändern 
auf den der höheren; dabei wird, es im allgemeinen am zweckmäßigsten 
sein, die willkürlichen Elemente durch Nullen zu besetzen. 
Indem man Zeilen mit Zeilen komponiert, ergibt sich also bei 
spielsweise: 
c 1 d y 
Cg C?g 
Co do 
h. c. d. 
ßi 
ß2 
a 1 h^ c 4 d x 
a 2 &g Cg d 2 
a g Cg d 3 
« 4 h A c 4 d A 
a x ß x 0 0 
a 2 ß 2 0 0 
0 0 10 
0 0 0 1 
a i + h x ß x 
a 2 «4 + & 2 ßi 
a 3 cc 1 -p h 3 ß { 
a x cc x 4~ ^ißi 
^2 4~ ß% 
a 2 cc 2 d - ho ß 2 Cg d 2 
4" \ ßi C 3 ^3 
a x a g 4~ h x ß 2 c 4 (¿4