186 Determinanten. § 6. Multiplikation von Determinanten. 
116. Quadrat einer Determinante. Die Identität von 
Dagrange. I. Um das Quadrat einer Determinante wieder in Deter 
minantenform zu erhalten, braucht man sie nur mit sich selbst zu 
multiplizieren. Komponiert man dabei gleichartige Reihen, also Zeilen 
mit Zeilen oder Kolonnen mit Kolonnen, so zeigt das Resultat eine 
besondere Bauart. So gibt beispielsweise das Quadrat einer Deter 
minante 3. Grades bei Komposition der Zeilen: 
a x b x c 1 
2 
«i 2 + fri 2 + G 2 
a x a 2 + frj b 2 -f c x c 2 
a x a 3 -f- b x b 3 -f c x c 3 
fr2 ^2 
= 
<l- x CI2 ~f- fri fr2 ~f" G ^2 
a. 2 2 + b 2 2 +c 2 2 
a 2 a 3 + b 2 b 3 -f c 2 c 3 
fr$ ¿3 
«i o 3 + b x b 3 -f- c i c 3 
a 2 a 3 -f fr 2 fr 3 + e 2 c 3 
a 3 2 “H fr 3 2 "f~ C 2~ 
In dem Resultat sind also Elemente, die symmetrisch zur Haupt 
diagonale angeordnet sind, einander gleich; das Quadrat einer Deter 
minante gibt bei der beschriebenen Ausführung eine symmetrische 
Determinante desselben Grades. Dies gilt für Determinanten beliebiger 
Grade. 
II. Die Determinante zweiten Grades 
a i + <L 2 + ’ ’ ’ + a n 2 a ib x + ci 2 h 2 -f- • • • + a n b n 
a 1 h i J r a 2 b 2 + • • ■ + <bAi fri 2 + ^2 2 + ‘ ' ' + fr 2 
> (°0 
deren Elemente Summen von je n Gliedern sind, läßt sich in n 2 Deter 
minanten mit einfachen Elementen auflösen (109); von diesen sind 
n identisch Null, diejenigen nämlich, die aus beiden Kolonnen Glieder 
desselben Zeigers zusammenfassen, wie z. B. 
a A 
a.-b. bß 
ab. 
a i h i 
a ; b- 
= 0; 
iß) 
es verbleiben also n 2 — n = n(n — 1) im allgemeinen nicht verschwindende 
Teildeterminanten. 
Löst man hingegen die Determinante (a) in Teildeterminanten 
von dem Schema 
a f + A «A+ «A 
<*A + «A k 2 + fr, 2 
0) 
auf, indem man i, li alle Kombinationen zweiter Klasse der Elemente 
1, 2, , .. n durchlaufen läßt, so entstehen ihrer —-——; jede davon 
ergäbe bei weiterer Auflösung vier Determinanten mit einfachen Ele 
menten; im ganzen gäbe es also solcher 2n(n — 1); da aber darunter 
jede Determinante des Typus (/3) n— 1-mal auftritt, so sind ihrer 
n(n — 1) identisch gleich Null und verbleiben n(n — 1) im allgemeinen 
von Null verschiedene Determinanten, so daß 
a x "-\-a^-\ r&n a ifri "b a 2frsrd f*ß„frJ •'sri a f J r a k a ß ) i J r a Ak. 
a ifri+ a 2b 2 h—\- a nPn fri 2j rt>. 2 2j i—ffr« 2 i ^ «A+«A fr, 2 +fr/1 2