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Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
7. Multiplikation. Jeder Einheit der Menge B werde eine Menge 
A zugeorduet; es ist die Zusammenfassung dieser Mengen A zu zählen. 
Symbolisch wird diese Forderung durch 
h X a (1) 
ausgedrückt; die Operation, die zu der neuen Zahl führt, heißt Mul 
tiplikation, ihr stets einzig vorhandenes Resultat Produkt, b der Mul 
tiplikator, a der Multiplikand. 
Im Wesen ist die Multiplikation von der Addition nicht verschieden; 
denn auch sie entspricht der Zusammenfassung von Mengen, nur sind 
diese nach einem besonderen Gesetz gebildet. Der Ansatz 
12 b 
1) a = a —(~ a —)— • • • -j— a (^2j 
zeigt die Zurückführung der Multiplikation auf die Addition und läßt 
das Produkt als die Summe einer Anzahl gleicher Summanden erkennen. 
Die aus den A zusammengesetzte Menge kann man sich in der 
Weise in Mengen B aufgelöst denken, daß man je eine Einheit aus 
jeder Menge A entnimmt und diese Einheiten zusammenfaßt; es ent 
stehen so a Mengen B, so daß 
b X a = a xb (3) 
ist. Das hierin ausgesprochene Gesetz heißt das kommutative Gesetz 
der Multiplikation. Es hebt den bisher zwischen Multiplikator und 
Multiplikand gemachten Unterschied als für das Resultat unwesent 
lich auf und gestattet, beiden Zahlen einen gemeinsamen Namen zu 
gehen; man nennt sie Faktoren und bedient sich statt (1) der kürzeren 
Schreibweise a • h oder a h. 
Wegen des besonderen Sachverhalts, daß 1 • a = a • 1 = a, nennt 
man 1 den Modul der Multiplikation. 
Die Produkte la, 2 a, 3a, • • • heißen die Vielfachen von a. Weil 
im Sinne von (2) 12 c 
c (a -f- bj = (a -f- c = a -\~ b ~\- a -\- h ‘ ‘ -h a -f- h 
12 c 1 2 c 
= a + a + -- --j-a + &-(-& + •••&, 
so ist 
c (a + b) = (a + h) c = ca 4- cb — ac + he; (4) 
hei nochmaliger Anwendung dieses Gesetzes findet man auch 
(a -f h) (c -f- d) = ac + ad -f- bc + hd. (5) 
Das in dieser Verknüpfung von Multiplikation und Addition aus 
gesprochene Gesetz heißt das distributive Gesetz beider Rechnungsarten, 
das auf Summen beliebig vieler Addenden ausgedehnt werden kann. 
Aus (3) und (2) folgt, daß 
/y 2 h \ /12^ a\ 
-j- a -{-••• -f- a) c = \b -f- b -f- • ■ • -(- b) c;