Hauptsatz der Algebra. — Entwicklung einer ganzen Funktion. 197 
ausgedrückte Problem, wobei für a' n wieder das Zeichen a n geschrieben 
wurde Diesen Ansatz nennt man eine algebraische Gleichung w-ten Grades, 
einen Wert x i} der die Forderung erfüllt, eine Wurzel der Gleichung oder 
eine Nullstelle (auch Wurzel) von _/(#); x heißt nunmehr die Unbe 
kannte, das von von x freie Glied a n das absolute Glied der Gleichung. 
Daß jede Gleichung ersten und zweiten Grades eine Wurzel be 
sitzt, lehren einfache arithmetische Überlegungen; die Frage, ob dies 
für jede Gleichung beliebig hohen Grades gelte, erfordert zu ihrer 
Erledigung über das Gebiet der Arithmetik hinausreichende Unter 
suchungen. Den ersten befriedigenden Beweis, daß dem so sei, hat 
Gauß gegeben und in seiner Doktordissertation (1799) veröffentlicht. 
Wir nehmen hier den Hauptsatz der Algebra, der diese Tatsache aus- 
drückt, als bewiesen an und formulieren, ihn wie folgt: Jede algebra 
ische Gleichung beliebig hohen Grades besitzt eine Wurzel. 
124. Entwicklung 1 einer ganzen Funktion nach einem 
Inkrement der Variablen. Wir stellen uns die Aufgabe; Wenn 
(2) 
f{x) = a 0 x n 4 a 1 x tl ~ 1 + ••• + «„ 
ist, so soll f(x 4 h) nach Potenzen von h entwickelt werden. 
Die Lösung könnte so geschehen, daß man in (2) x 4 h für x 
setzt, die verschiedenen Potenzen dieses Binoms ausführt und schließ 
lich nach den Potenzen von h, deren höchste h n sein wird, ordnet; 
das Resultat wird ein Ausdruck von der Form 
(3) 
fix 4 h) = X 0 + X t h 4 X 2 h 2 4 • • • 4 X n h n 
sein; X 0 , X ly • • • X n werden sich aus x und den Koeffizienten a zu 
sammensetzen. 
Ohne die beschriebene Entwicklung vorzunehmen, kann man 
X 0 , X 1} • • • X n durch folgende Betrachtung gewinnen. Ist das Argu 
ment irgend einer Funktion /{u) eine Summe von zwei Variablen 
r 4 y, so kann dem Differenzenquotienten auch eine 
F(x 4 8 4 y) — F{x 4 V) F{x 4 y 4 8 ) — F (x 4 y) 
gegeben 
der Formen 
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werden; geht man mit $ zur Grenze Null über, so ergibt sich aus 
dieser Bemerkung, daß F'(u) = F' x (x 4 y) = F' y (x 4 y) ist. 
Hiervon machen wir bei der Gleichung (3) Anwendung und 
differenzieren sie w-mal nacheinander in bezug auf h rechts, in bezug 
auf x links; das Ergebnis dieser Differentiationen lautet: 
fx Fh) — X t 4 2 X 2 h 4 3 X 3 h 2 4 • • • 4 
/'(x+h)^ 1 • 2X 2 4 2-3X 3 h H \- {n-\)nX n h n 
1 • 2•3 X 3 4...4( w -2)(n-l)«X,Ä-» ( 4 ) 
1-2-wX,