198 Gleichungen. § 2. Allgemeine Sätze über höh. algebraische Gleichungen. 
Setzt man in (3) und (4) h = 0, so ergibt sich, wenn man bei 
den Ableitungen von f{x) den jetzt überflüssigen untern Index fort 
läßt: 
*o-/W 
x 2 = 
/'» 
1 • 2 
X 
1-2 • • • n 
Führt man diese Werte in (3) ein, so ergibt sich die verlangte 
Entwicklung: 
/(x + /,) -/(») + + A".j (5) 
Bei ihrer Ableitung kam der Umstand, daß fix) eine ganze 
Funktion ist, nur insofern zur Geltung, als die Bildung der Ableitungen 
(4) mit der w-ten einen natürlichen Abschluß fand, 
125. Algebraische Teiler einer ganzen Funktion. Horner- 
sches Divisionsverfahren. Nach dem Hauptsatze der Algebra hat 
die Funktion f(x) eine Wurzel, sie heiße x Xf so daß fixf) = 0 ist. 
Mit Bezug auf diese gilt nun der Satz: Die Differenz x — x 1 ist ein 
algebraischer Teiler von fix). 
Schreibt man nämlich fix) in der Form f(x x -f- x — x x ) und 
wendet darauf die Entwicklung (5) an, so wird: 
/0) =/0i) + ~%i) + / T-| ) “^) 2+ ’‘’ + l”2( 6 ) 
da nun f(x x ) — 0, so ist tatsächlich x — x x ein Faktor der rechten 
Seite, also auch von fix), d. h. f{x) ist durch x — x x teilbar. Der 
Quotient ist 
/>x) i 
1 ~ r 
f"(P i) 
1 • 2 
(X — xf) +•••-}- 
/ (n) 0i) 
1-2 n 
(x — , 
(7) 
also wieder eine ganze Funktion, f x ix), vom Grade n — 1, der Koeffi 
zient ihrer höchsten Potenz, wie aus dem Divisionsverfahren hervor 
geht, wieder a 0 ; man hat also 
f(x) = (x-x x )f x (x). (8) 
Man nennt x — x x den zur Wurzel x x gehörigen Wurzelfaktor 
von fix). 
Ist x x nicht Wurzel von fix), so erstreckt sich die Teilbarkeit 
nur auf die Glieder vom zweiten angefangen in der Form (6), folg 
lich ist f(x x ) der verbleibende Divisionsrest. Dieser wichtige Sach-