200 Gleichungen. § 2. Allgemeine Sätze über höh. algebraische Gleichungen. 
126. Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung. 
Durch wiederholte Anwendung des Hauptsatzes, daß jede ganze Funk 
tion eine Nullstelle besitzt und durch den zugehörigen Wurzelfaktor 
teilbar ist, ergeben sich die folgenden Ansätze: 
/0) = 0* ~ x i)A( x ) 
Ä(x) = O ~ x 2 )/ 2 (x) 
/ 2 0) = (x — x s )/ 3 (x) 
= ( x - x n)/ n ( x ); 
dabei bedeutet x i+x eine Nullstelle von / { {x), das eine ganze Funktion 
vom Grade n — i mit dem Anfangskoeffizienten a 0 ist; folglich ist 
f n (x) = a 0 selbst. Die Multiplikation vorstehender Gleichungen führt 
also zu /(a) = a 0 (x- x x )(x — x a ) • • • (x - xj, (9) 
aus welcher Darstellung unmittelbar hervorgeht, daß f(x) die Null 
stellen x x , a? 2 , • • • x n hat. Es gilt sonach der Satz: Eine Gleichung 
n-ten Grades besitzt n Wurzeln. 
Die Annahme, /(x) besitze außer den genannten Nullstellen noch 
eine weitere, von ihnen verschiedene Nullstelle x', hätte den Ansatz 
/(x') = a 0 (x' — x x ){x' — x 2 ) • • • (x' — x n ) = 0 
zur Folge, der aber, da die sämtlichen Differenzen von Null ver 
schieden sind, nur bestehen kann, wenn a 0 — 0 ist. Daun aber wird 
f{x) vermöge (9) durch jeden Wert von x auf Null gebracht; 
a 0 x n -f a x x n ~ x h a n 
kann aber nur dann identisch Null sein, d. h. für jeden Wert von x 
verschwinden, wenn die Koeffizienten einzeln Null sind: 
a o = 0, a x = 0, • • • a n = 0. 
Wenn also eine ganze Funldion n-ten Grades mehr als n Null- 
steilen hat, so hat sie deren unendlich viele, indem sie für jeden Wert 
von x verschwindet. 
Haben die zwei ganzen Funktionen 
fix) = a 0 x n -f a x x n ~ X H 1- a n 
g{x) = b 0 x n + b x x n ~ 1 -] h b n 
für mehr als n Werte von x gleiche Werte, so besitzt die Gleichung 
fix) - g{x) = («o - 6 0 ) x n + {a x -b x ) x n ~ 1 -\ + (a n - b n ) = 0 
mehr als n Wurzeln; infolgedessen ist notwendig 
«o - \ = °, «i — = 0, ... a n — b n = 0, 
also 
a 0 = b Q , a x =b x , ••• a n = b n .