Komplexe Wurzeln. — Symmetrische Grundfunktionen der Wurzeln. 203 
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die Summenzeichen beziehen sich der Reihe nach auf alle Kombi 
nationen ohne Wiederholung der 1., 2., • • • n — 1-ten Klasse aus den 
Zeigern 1, 2, • • • n. 
Diese Relationen mischen den Wurzeln und den Koeffizienten ge 
statten die Lösung der Aufgabe: Eine Gleichung aufzustellen, die ge 
gebene Wurzeln besitzt. Es sind dazu nur die vier Spezies im Gebiete 
der komplexen Zahlen erforderlich. 
Die auf den linken Seiten von (11) stehenden Wurzelfunktionen 
haben die Eigenschaft, sich nicht zu ändern, wenn man die Wurzeln 
irgendwie untereinander vertauscht; Eunktionen dieses Verhaltens be 
zeichnet man als symmetrisch in Bezug auf ihre Argumente und 
nennt die in (11) auftretenden die symmetrischen Grundfunktionen der 
Wurzeln der Gleichung. Jede andere symmetrische Funktion der 
Wurzeln läßt sich durch sie, also auch durch die Gleichuugskoeffi- 
zienten rational darstellen. So kann man beispielsweise die Quadrat 
summe der Wurzeln einer beliebigen Gleichung berechnen, ohne diese 
aufzulöseu, aus den Koeffizienten allein. Denn 
C5X-) 2 = 2$ + 2 2 x i x j 
und mit Zuziehung der ersten zwei Relationen aus (11) ergibt sich 
daraus: 
130. Transformation der Unbekannten. Ein wichtiges Hilfs 
mittel der Umformung von Gleichungen zum Zwecke ihrer leichteren 
Lösung bildet der Übergang zu einer neuen Unbekannten, oder, wie 
man dies ausdrückt, die Transformation der Unbekannten. Die neue 
Unbekannte steht dabei mit der ursprünglichen in einer bekannten 
Beziehung. Drei wichtige Fälle seien hier angeführt. 
I. Setzt man x — kz, so geht die Gleichung f{x) = 0 über in 
+ • ■ • + a n — 0 (12) 
und in der Produktform: 
fü z ) = a oÜ z ~ x ù (I e z — # a ) ■ ■ * $8 — x n ) = 0;