Multiplikation, Potenzieren. 
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führt man beide Formen nach der Regel (4) aus, so ergibt sich, daß 
(ab) c = (ac) h = (hc) a. (6) 
Das hierin liegende Verhalten eines Produktes you drei Faktoren nennt 
man das assoziative Gesetz der Multiplikation, das die Anschreihung 
des Produktes in der Form ahc zuläßt; es kann auf beliebig viele 
Faktoren ausgedehnt werden. 
Auch die Multiplikation beliebig großer Zahlen führt die Arithmetik 
auf ein mechanisches Verfahren zurück, das nur die Kenntnis der 
Produkte je zweier der Zahlen 1, 2, • • • 9 voraussetzt. 
Das kommutative, assoziative und distributive Gesetz machen das 
Wesen der Multiplikation aus ohne Rücksicht auf das Substrat, au 
dem die Operationen ausgeführt werden. 
8. Potenzieren. Aus der Menge A werde eine neue Menge nach 
folgendem Gesetz erzeugt: man ersetzt jede Einheit von Ä durch eine 
Menge A, in der neuen Menge wieder jede Einheit durch eine Menge A 
und führt diesen Prozeß w-mal nacheinander aus. Die Forderung, 
die zuletzt entstandene Menge zu zählen, soll durch das Symbol 
a n (1) 
angezeigt werden; die Operation, welche dazu führt, heißt das Poten 
zieren, ihr eindeutiges Resultat Potenz, a die Basis, n der Exponent. 
Im Grunde genommen ist das Potenzieren eine unter besonderen 
Umständen wiederholte Multiplikation; der Ansatz 
12 n 
a n = ää • • ■ ä (2) 
erklärt diese Zurückführung des Potenzierens auf die Multiplikation, 
und da diese ihrerseits auf die Addition zurückleitet, so ist ein ge 
meinsamer Ursprung dieser drei Operationen dargetan. 
Im Sinne von (2) ist a l = a, dagegen 1” = 1, welche natürliche 
Zahl auch n sein möge. 
Die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 • • • nennt man die Potenzen von a. Ins 
besondere heißen die 2., 3., 4. Potenz auch Quadrat, Kubus und Bi 
quadrat. 
Es ist eine iveseniliche Eigenschaft der bisher vorgeführten drei 
Operationen, daß sie immer za einem, aber auch nur einem Resultate 
führen. 
9. Subtraktion. Die Subtraktion entspringt aus der Forderung, 
von einer Menge A eine bestimmte Teilmenge B (effektiv oder ideell) 
abzulösen und die zur verbleibenden Menge gehörige Zahl zu finden, 
wenn die Zahlen a, b bekannt sind. In arithmetischer Ausdrucksweise 
heißt dies, zu gegebener Summe a und einem Summanden b den 
andern Summanden bestimmen; die Forderung werde durch das Symbol 
a -r- b (1)