Transformation einer Unbekannten. — Resultante zweier algebr. Gleichungen. 205 
und die transformierte Gleichung lautet: 
+ IO* 3 + 330 2 + 36s + 1 - 0. 
III. Durch die Substitution x = ~ geht f(x) = 0 über in 
und nach Beseitigung der Nenner weiter in 
*"/ (7) = V" + «„-i«"" 1 + a«_ 8 «"“ 8 + • • ■ + «s* 2 + a t e + a 0 = °- ( 14 ) 
Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Reziproken yon den Wurzeln 
der ursprünglichen Gleichung. 
Ist insbesondere 
(15) 
a n -i = ± (i = 0, 1, 2, • • • »), 
wobei durchwegs das eine oder das andere Zeichen gilt, so stimmt 
die transformierte Gleichung mit der ursprünglichen — bis auf das 
Zeichen der Unbekannten — überein, hat also auch deren Wurzeln. 
In einer Gleichung mit der Koeffizientenrelation (15) gehört also zu 
jeder Wurzel x t auch deren Reziproke —; ist der Grad der Gleichung 
ein gerader, so teilen sich die Wurzeln in zwei gleich starke Gruppen, 
deren eine die reziproken Werte der andern umfaßt; ist der Grad ein 
ungerader, so verbleibt noch eine vereinzelte Wurzel, die notwendig 
1 ist. Gleichungen dieser Art bezeichnet man als reziproke Gleichungen. 
§ 3. Resultante und Diskriminante, 
131. Resultante zweier algebraischer Gleichungen. I. Wenn 
zwei Gleichungen 
(1) 
(2) 
/(y) = % V m + a 1 y m ~ 1 + • • • + a m = 0 
g(y) — Kv n + \y n ~ x + ••• + &„= 0 
mit unbestimmten Koeffizienten vorliegen, so kann die Frage aufge 
worfen werden, unter welcher Bedingung sie mindestens eine gemein 
same Wurzel besitzen. Da die Wurzeln von den Koeffizienten ab- 
hängen, so wird es dabei auf einen aus den Koeffizienten beider 
Gleichungen zusammengesetzten Ausdruck, also auf eine Funktion 
dieser Koeffizienten ankommen, der von vornherein der Name Resul 
tante beider Gleichungen gegeben werden soll. 
Um dies zunächst an einem speziellen Fall zu erklären, seien die 
Gleichungen quadratisch: 
«0 y 2 +a x y + u 2 = 0 
\y 2 + \y + \ = 0;