Satz von Bezout. — Diskriminante. 
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Zwei algebraische Gleichungen mit den Unbekannten x v y v vom 
Grade m und n, besitzen mn Lösungen. 
Hierbei sind wiederholte Lösungen entsprechend ihrer Mnltiplizität 
und komplexe Lösungen ebenso zu zählen wie reelle. 
Es ergehen also beispielsweise zwei quadratische Gleichungen 
vier gemeinsame Wertepaare, eine quadratische mit einer kubischen 
deren sechs usw, 
133. Diskriminante einer algebraischen Gleichung. Unter 
den Wurzeln einer Gleichung mit unbestimmten Koeffizienten werden 
sich mehrfache nur dann befinden, wenn die Koeffizienten in einer 
gewissen Beziehung zueinander stehen. Einen Ausdruck aus den 
Koeffizienten, welcher geeignet ist, darüber zu entscheiden, wollen wir 
als die Diskriminante der Gleichung bezeichnen. Ein solcher Aus 
druck leistet noch mehr; da nämlich der Übergang von reellen zu 
komplexen Wurzeln durch wiederholte Wurzeln erfolgt, so dient die 
Diskriminante auch dazu, solche Wertverbindungen der Koeffizienten, 
die zu reellen Wurzeln in bestimmter Anzahl führen, zu sondern von 
andern Wert Verbindungen, die zu einer größeren oder geringeren An 
zahl reeller Wurzeln Anlaß geben. 
Die quadratische Gleichung bietet das einfachste Beispiel der 
Diskriminantenbildung. Man erhält als Auflösung von 
a 0 x 2 + 2a 1 x + a 2 = 0 
die beiden Wurzeln 
x = — «i +y«j — q 0 «2 . 
«0 
ihre Beschaffenheit hängt von dem Ausdruck 
D = a\ — a 0 a 2 
ab, der unter dem Wurzelzeichen steht; ist er positiv, so sind die 
Wurzeln reell und verschieden; ist er negativ, so sind sie imaginär 
und auch verschieden, weil konjugiert komplex; nur wenn J) = 0, 
werden die Wurzeln einander gleich. Der Ausdruck D ist also ge 
eignet, als Diskriminante der obigen quadratischen Gleichung ange 
sehen zu werden, und JD — 0 ist die Bedingung einer zweifachen 
Wurzel. 
Nun ist in 127 die notwendige und hinreichende Bedingung da 
für erkannt worden, daß eine Gleichung /(x) = 0 beliebigen Grades 
mindestens eine mehrfache Wurzel besitze; sie besteht darin, daß für 
eine solche Wurzel auch f'(x) = 0 sein muß. Daraus ergibt sich 
der Satz: 
Soll die Gleichung /(x) = 0 eine mehrfache Wurzel haben, so ist 
notwendig und ausreichend, daß das Gleichungspaar /(x) = 0, fix) = 0 
eine gemeinsame Wurzel besitzt; mithin kann die Resultante der beiden 
letzten Gleichungen als Diskriminante der ersten genommen werden. 
Ozuber, Höhere Mathematik. 14