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Gleichungen. § 4. Numerische Gleichungen. 
Sind f{a) und f(b) ungleich bezeichnet, so liegt in dem Intervoll 
(a, b) mindestens eine Wurzel der Gleichung f{x) = 0, und wenn mehr, 
so deren eine ungerade Zahl. 
Dieser Sachverhalt gestattet schon mancherlei Schlüsse. Man 
kann immer bewirken, daß in der Gleichung 
f(x) = a Q x n + a x x n ~ 1 + • • • -f a n = 0 
der erste Koeffizient a 0 positiv sei; ist n ungerad, so ist /{— oo) = — oo, 
/(oo) = oo; da /(0) = a n} so findet hei dem Übergänge von x = — cx> 
zu x — 0 eine Zeichenänderung bei /(x) statt, wenn a ra > 0; ist hin 
gegen 0, so erfolgt die Zeichenänderung bei dem Übergange von 
x = 0 zu x = oo. Demnach: 
Eine Gleichung von ungeradem Grade hat mindestens eine reelle 
t Wurzel, deren Zeichen das entgegengesetzte des absoluten Gliedes ist. 
So besitzt 4# 3 — 5# 2 -f-6;r + B = 0 sicher eine negative, 2x° — 3 x~ — 4 
= 0 eine positive Wurzel. 
Ist n gerad, so ist /(+ oo) = oo und da /(0) = a n , so erfolgt 
eine Zeichenänderung nur dann, wenn a n <C 0 ist, dann aber sowohl 
von x = — oo zu x = 0 als auch von x = 0 zu x — oo. Hiernach 
gilt die Regel: 
Eine Gleichung von geradem Grade, deren absolutes Glied negativ 
ist, hat sicher sowohl eine positive als auch eine negative Wurzel. 
Von einer Gleichung dieser Art, aber mit positivem absoluten 
Glied läßt sich nur aussagen, daß sie entweder keine oder eine gerade 
Anzahl reeller Wurzeln hat. 
Das erstausgesagte gilt beispielsweise von der Gleichung x* — 2x* 
+ 3# — 4 = 0, das letztere von x 4 — 2x 2 + ?>x + 4 = 0. 
II. Eine Vorfrage, durch deren Erledigung mitunter umständliche 
Rechnungen vermieden werden können, ist die nach den Schranken 
der Wurzeln. Ein zweckmäßiges Mittel, solche zu finden, bietet die 
Newton sehe Regel, welche besagt: 
Wenn f(J),/ '(J),/"(l), • • • _/V -1 )(7) sämtlich positiv sind, so bann 
keine Wurzel der Gleichung f(x) = 0 über l liegen; folglich ist l eine 
obere Schranke der Wurzeln. 
Denn, 
/(x)=/(l + ^-l)-/(}) + f ‘f (x-l)+ -f l (x - ly> + ■ ■ ■ 
+ 
1 ■ 2 ••■(« — 1) 
(x — l) n ~ 1 
+ 
f {n) D 
1 • 2 ■ • n 
(x — l) n 
ist hinter den gemachten Voraussetzungen positiv für jedes x > l, da 
y»(7) = 1.2 • • • na 0 immer positiv ist, wenn man für a 0 > 0 sorgt. 
Geht man zu + /(— x) = 0 über und bestimmt zu der so trans 
formierten Gleichung wieder die obere Schranke V, so hat man in 
— V die untere Schranke für die Wurzeln von f{x) = 0.