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Gleichungen. § 4. Numerische Gleichungen. 
% 
9{*) 
z*- 13^+54^-72 
3# 2 — 26# + 54 
6* - 26 
6 
6 
5 
mit 6, das gleichzeitig als Wurzel erkannt wird; es bleiben also nur 
die Faktoren 1, 2, 3, 4 von 72 noch zu untersuchen: 
1 
2 
3 
4 
1 -13 54 -72 
1 -12 42 (-30) 
1 -11 32 (- 8) 
1 -10 24 (0) 
1 - 6 (0) 
und es erweisen sich 3 und 4 als Wurzeln; die letzte Zeile weist 
nochmals 6 als Wurzel aus. 
Mithin sind 1. —, 4, ~ oder 1, -j-, 4-, 4 die Wurzeln der 
vorgelegten Gleichung. 
137. Dififerenzenreihen. Bevor an die näherungsweise Be 
stimmung irrationaler Wurzeln geschritten wird, muß einiges aus der 
Differenzenrechnung vorausgeschickt werden. 
I. Aus einer endlichen oder unbegrenzt fortsetzbaren Folge reeller 
O O 
Zahlen 
W 0 1 «l 1 ^2 5 W ra 
(1) 
werde die neue Folge 
Du 0 , z/%, ■ • • zJu n _ 1 
(2) 
nach dem Prinzip gebildet, daß jede Zahl in (1) von der ihr nach 
folgenden subtrahiert wird, so daß also Du 0 = % — m 0 , Du y = w 2 — u yf 
• • • ^iu n _ 1 = u n — u n _ t ist. Man nennt (2) die Differenzenreihe von (1). 
Wird auf sie dasselbe Prinzip äuge wendet, so entsteht die ziveite 
Differenzenreihe von (1): 
z/ 2 w 0 , z/ 2 w x , • • • D 2 u n _ 2 , (3) 
in der also 
D 2 u 0 = Du y — zJu 0 , z/ 2 % = z/m 2 — Du x , • • • D 2 u n _ 2 = Du n _ x — z/u n -_ 2 
ist. 
In dieser Weise kann man zu immer höhei*en Differenzenreiheu 
fortschreiten. 
Ist (1) endlich und aus n + 1 Gliedern bestehend, so ist der 
Bildung von Differenzenreihen dadurch ein Ziel gesetzt, daß schließ 
lich eine eingliedrige Differenzenreihe D n u 0 zustande kommt. Bei un 
begrenzt fortsetzbarer (1) aber kann die Bildung von Differenzenreihen 
im allgemeinen unbegrenzt fortgesetzt werden.