Arithmetische Reihen höherer Ordnung. 
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Es gibt jedoch Reihen, bei denen sie einen Abschluß dadurch 
findet, daß man nach r-maligem Differenzenprozeß zu einer Reihe 
von gleichen Gliedern kommt; denn dann bestände die nächste und 
jede weitere Differenzenreihe aus Nullen. Eine so geartete Reihe be 
zeichnet man als arithmetische Beihe r-ter Ordnung. Die als arithme- 
tiche Reihe schlechtweg bezeichnete Zahlenfolge ist eine arithmetische 
Reihe erster Ordnung. 
II. Stellt man aus (1) die Reihe 
au Q , au x , au 2 , • • • au n (4) 
her und wendet auf sie Differenzbildung an, so wird 
zlau i = au i+1 — au { = a(u i + l — ui) = aAu i ; (5) 
dieses Verhalten überträgt sich auf die höheren Differenzen, so daß auch 
A r au i = aA r u^ (6) 
war also (1) eine arithmetische Reihe r-ter Ordnung, so ist es (4) 
auch. 
III. Sind ferner die Glieder von (1) Aggregate von der Form 
au t + hv i + cw t ff , 
so wird 
A {au { +bv { +av i +•■•) = + hv M + cw i+1 4 (a u t +bv { +c w t +• • •) 
— a A u^ -f- h A -j- c A w■ -f- • • •; (4) 
auch dieses Gesetz überträgt sich auf die höheren Differenzen, indem 
A r (au i + bv i 4- cw { +•••) = aA r u i -f bA r v i + cA r iv i + • • • (8) 
wird. Sind u if v i} iv v • • • (i = 0, 1, 2, • • •) arithmetische Reihen von 
der Ordnung r, r—1, r — 2, • • • beziehungsweise, so ist die aus den 
Aggregaten au i -\-bv i -\-cw i -f-• • • gebildete Reihe ebenfalls eine arith 
metische, und zwar von der Ordnung r. 
IV. Die r-ten Potenzen der natürlichen Zahlen bilden eine arith 
metische Beihe r-ter Ordnung. 
Die Richtigkeit des Satzes ergibt sich durch folgende Induktion. 
Es ist 
An 2 = (n + l) 2 — n 2 = 2 n + 1 
A 2 n 2 = 2(n + 1)+ 1 — (2n + 1) = 1 • 2, (9) 
also konstant, daher l 2 , 2 2 , 3 2 , ■ • • eine arithmetische Reihe 2. Ord 
nung; weiter 
An d = (n + l) 3 — n s = 3 n 2 -f dn -f 1, 
folglich unter Benutzung von (6), (8) und (9): 
A 3 n s = 3A 2 n 2 + 3 A 2 n -f A 2 1 = 1 • 2 • 3, 
(10)