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Gleichungen. § 4. Numerische Gleichungen. 
Tabelle benutzt. Dort, wo die Bildkurve die Abszissenacbse schneidet, 
befinden sich die Wurzeln; man kann aus der Zeichnung ihre Lage 
etwas näher abschätzen als aus der Tabelle und so das Intervall (a, h) 
von einer Einheit etwa auf ein Zehntel herahmindern. Dadurch kürzt 
sich das rechnerische Näherungs verfahren ab. 
Von solchen Näherungs verfahren sollen hier zwei besprochen 
werden: die Regula falsi und das Newtonsche Verfahren. 
I. Die Regula falsi. Setzt man x = a + h = h — Tt, so ist 
fip) = f{x ~ h) = fix) — /' 0) h + • • • 
ff) = fix + *0 = fix) +/'(x)k-\ ; 
beschränkt man sich auf die Glieder mit der ersten Potenz der Korrek 
tionen h, k und beachtet, daß f{x) = 0 ist, so folgt aus den beiden 
Gleichungen: 
Je /(&) W 
und daraus mit Rücksicht auf li-\-k = h — a: 
h 
/(«) 
b 
a /(«)—/(&) 
und 
f = — a)f(a) ' 
(2) 
/(«)-/(&) 
Der Näherungswert a -f- h teilt das Intervall in zwei Teile, und 
auf denjenigen dieser Teile, an dessen Enden f{x) entgegengesetzt 
bezeichnete Werte zeigt, wendet man denselben Vorgang an wie früher 
auf (u, h) usw., bis man die nötige Zahl unveränderlich bleibender 
Dezimalstellen erlangt hat. 
Daß man es mit einem Näherungsrerfahren zu tun hat, ist 
geometrisch so einzusehen. Im Sinne der 
Gleichung (1) wird das Intervall (a, h), Fig. 42, 
in zwei Teile geteilt, die sich so verhalten 
wie die (absoluten) Funktionswerte an den 
A 
f(CL) 
xEnden; diese Teilung besorgt die Sehne AB- 
ihrem Schnittpunkt mit XX' entspricht also 
der Wert a-\-h] die zweite Näherung wird 
durch die Sehne AC erreicht und liegt näher 
an der Wurzel usf, vorausgesetzt, daß die 
Mg. 42. 
Funktion zwischen a und h einen ähnlich einfachen Verlauf hat, wie 
er in der Figur angenommen ist. 
II. Das Newtonsche Näherungsverfahren. Mit denselben Bezeich 
nungen wie vorhin ist 
0 = /(»)=/(o + Ä)=/(a) + /'(a)Ä+Vf 
o -/(»)-/(&-*) -/(») ~/'m + rf ¥ + ■ • ■;