232 Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. 4. Grades. 
Aufgaben der Mathematik. Der Nachweis der Unmöglichkeit seiner 
elementaren Lösung im allgemeinen, d. h. abgesehen von besonderen 
Annahmen, gehört der neueren Zeit an. 
Man nennt die konstruktive Lösung einer Aufgabe elementar, 
wenn sie sich durch Anwendung von Lineal und Zirkel streng aus 
führen läßt. Elementar darstellbar sind nur solche Ausdrücke, die 
sich aus den gegebenen Größen — Strecken — durch rationale Ope 
rationen und durch Quadratwurzeln in einer endlichen Anzahl von 
Verbindungen zusammen setzen. So können also beispielsweise Aus 
drücke, die sich als Wurzeln von linearen und von quadratischen 
Gleichungen ergeben, elementar konstruiert werden. 
Ist eine Gleichung vom dritten Grade in bezug auf die zu be 
stimmende Größe, so ist eine elementare Konstruktion ihrer Wurzeln 
nur dann möglich, wenn sie sich zerlegen läßt in drei Gleichungen 
ersten Grades oder in eine Gleichung ersten und eine Gleichung zweiten 
Grades mit Koeffizienten, die sich aus jenen der ursprünglichen Gleichung 
rational zusammensetzen; man sagt in solchem Falle, die Gleichung 
sei reduzibel. Im andern Falle heißt sie irreduzibel, und da ihre 
Lösung dann Kubikwurzeln enthält, so ist die elementare Konstruktion 
der Wurzeln ausgeschlossen. Die Betrachtung kann auf Gleichungen 
höherer Grade ausgedehnt werden. 
Die Aufgabe der Dreiteilung eines Winkels cp führt auf eine 
kubische Gleichung. Ein Winkel kann linear bestimmt sein durch 
eine seiner trigonometrischen Funktionen in bezug auf eine gegebene 
Einheit; es sei z. B. cos cp = a-, nun ist 
cos cp = 4 cos 3 ^ — 3 cos ^; 
O O 
setzt man also cos ^ = X, so hat man zur Bestimmung dieser Größe 
die Gleichung: 
4:X 3 — 3 x — a = 0. (1) 
Diese Gleichung löst die Aufgabe der Dreiteilung für drei Winkel; 
a ändert sich nämlich nicht, wenn man cp um ein Vielfaches von 
360° ändert; es ergeben sich also außer x x = cos ^ noch die Wurzeln 
x 2 = cos^ 360 = cos -f- 120°) und x 3 = cos - 2 3 3G — = cos ^-f-240 0 ^; 
alle andern Vielfachen führen über die Figur, die die Teilungsstrahlen 
zu diesen drei Wurzeln enthält, nicht hinaus. 
Keine der drei Wurzeln ist im allgemeinen aus der Strecke a 
und der Einheit elementar konstruierbar. 
Man kann die Fragestellung umkehren und nach solchen Winkeln 
fragen, die eine elementare Dreiteilung zulassen. Die Antwort darauf