Dreiteilung des Winkels. 
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ist die folgende: Ist £ irgend eine Strecke, die aus der Einheit durch 
elementare Konstruktion gewonnen wurde und kleiner ist als 1 dem 
Betrage nach, und erzeugt man aus ihr, was wieder durch elementare 
Konstruktionen möglich ist, die neue Strecke cc = 4£ 3 — 3£, so liefert 
jede so gewonnene Strecke, für a in (1) eingesetzt, eine Gleichung, 
deren Wurzeln elementar konstruiert werden können. 
Es mögen noch einige spezielle Fälle zur Erläuterung angeführt 
werden. 
Die Annahme a■ — 1 führt zu einer reduziblen Gleichung; denn 
4 a; 3 — 3 a; — 1 = 0 zerfällt in die Gleichungen 
x~l = 0, (2x + l) 2 = 0, 
deren Wurzeln 1, — * , — * sind. Es ist dies die Dreiteilung der Winkel 
von 0, 360 und 810°. 
Mit a = 0 gelangt man zu der Gleichung 4a 3 — 3 a; = 0, deren 
Reduzibilität unmittelbar zu erkennen ist; sie zerfällt in 
x = 0, ix 2 — 3 = 0, 
°, - , Hierin 
Hierin ist die Dreiteilung der 
ihre Wurzeln sind also 0,— 2 , 2 . Hi 
Winkel von 90, 450 und 810° enthalten. 
Auch die Annahme a = -4= erg: 
1/2 
ergibt eine reduzible Gleichung; denn 
4 a; 3 —3a; ^ läßt sich auf lösen in ix 
j/2 
4a; 2 — — 1 ), somit zerfällt die kubische Gleichung jetzt in 
und hat die der elementaren Konstruktion zugänglichen Wurzeln 
■j/2 7 
i - ys i -j- ys 
Hiermit ist die Dreiteilung der Winkel von 45, 
2 ]/2 ’ 2 l/2 
405 und 765° erledigt. 
Aber schon die Annahme a = * 
führt auf eine irreduzible Glei 
chung, die Dreiteilung des Winkels von 60° kann elementar nicht 
ausgeführt werdeu. 
146. Die biquadratische Gleichung. Indem man die all 
gemeine Gleichung vierten Grades 
a 0 X a + a^x 3 + « 2 a; 2 + a 3 x -f « 4 = 0 
(1) 
durch den Koeffizienten der höchsten Potenz dividiert und die auf 
tretenden Quotienten mit a, &, c, d bezeichnet, nimmt sie die Gestalt an: