234 Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung d. Gleichungen 3. u. 4. Grades. 
f{x) — x* + ax % + bx 2 + cx -f d = 0. (2) 
Wie bei der kubischen Gleichung erweist es sich als vorteilhaft, 
durch eine Substitution 
x = z ln 
so zu transformieren, daß die nächstniedere Potenz der Unbekannten 
nicht erscheint. Da 
/0 + h ) =/(*) + } * + YV 
/ № «2 _i_ / W -,3 I /"'Q 1 ) „i A 
1-2.3* + 1-2-3-4 * ~ u 
bereits die nach Potenzen von z geordnete transformierte Gleichung 
darstellt, so hat man h so zu bestimmen, daß /"'(It), d. i. 
24h 6a = 0 
a 
4 1 
werde; daraus folgt h = — die endgiltige Substitution lautet also: 
z — 
4 ’ 
(3) 
Zu ihrer Durchführung benützt mau das Schema: 
d 
1 
a 
b 
C 
a 
4 
1 
3 a 
4 
1 
05 1 ^ 
4- 
3 a 8 
64 
ah 
4 
1 
2 a 
4 
-W + 6 
/a 8 
\8 ~ 
ah 
~ Y 
1 
a 
4 
(-£+») 
= P, 
+ c (- 
+ = I 
3a 4 a 2 h 
256 + 16 
ac 
~T 
+ (f) = )• 
das die Koeffizienten der reduzierten Gleichung 
z 4 + pz 2 + qz r = 0 
liefert. 
(4) 
147. Lösung der reduzierten biquadratischen Gleichung. 1 ) 
Setzt man nach dem Vorgänge Eulers 
z = u + v -+■ w (5) 
so ergibt sich daraus nach und nach: 
z 2 = u 2 + v 2 + tv 2 + 2(viv + wu 4- uv) 
z^ — 2 (u 2 4- v 2 4- w 2 ) z 2 4- (w 2 4- v 2 + w 2 ) 2 = 4(v 2 w 2 4- tv 2 u 2 4- u 2 v 2 ) 
4- 8(u 2 vw 4-uv 2 iv 4- uvw 2 ) 
¿4 — 2 (u 2 4- v 2 4- w 2 ) z 2 — 8 uv ivz 4- (u 2 4- v 2 4- w 2 ) 2 
— 4 (y 2 w 2 4- iv 2 u 2 4- u 2 v 2 ) = 0. 
1) Die Entdeckung der Auflösung der reduzierten quadratischen Gleichung 
ist Ludovico Ferrari (1522—1565) zu danken, einem hervorragenden Schüler 
Cardanos, der sie vor 1545, also vor Vollendung seines 23. Lebensjahres, ge 
funden haben muß; denn 1545 erschien sie in Cardanos „Ars magna“, und der 
Druck dieses Werkes begann zu Nürnberg 1544,