Die biquadratische Gleichung. 
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wendig, daß 
Damit diese Gleichung dieselben Wurzeln besitze wie (4), ist uot- 
(6) 
— 2 (u 2 + v 2 + iv 2 ) = p 
— 8uvw = q 
{u 2 + v 2 + w 2 ) 2 — 4 (v 2 w 2 -f- w 2 u 2 + u 2 v 2 ) = r 
sei; woraus zu schließen ist auf; 
o i Q | o P 
™ + v + tv — — 2 
V 2 W 2 + W 2 U 2 + U 2 V 2 = — 
9 9 9 Q" 
“ W = 6ii 
(7) 
doch ist zu beachten, daß die letzte Gleichung umfassender ist als 
die ihr korrespondierende mittlere Gleichung (6), indem sie dieselbe 
bliebe, auch wenn q ersetzt würde durch — q. 
Zufolge der in (7) ausgedrückten Eigenschaften der drei Zahlen 
u 2 , v 2 , ic 2 sind diese die Wurzeln der kubischen Gleichung 
e3 + l 02 + r ü 
4 r 
e 
(8) 
die man als die Imbische Resolvenfe der Gleichung (4) bezeichnet. 
Sind 0 1? 0 2 , 6 3 ihre Wurzeln, so können zwei davon für u 2 , v 2 genommen 
werden, die dritte ist dann iv 2 . Setzt man also 
u 2 = 0j, v 2 = 0 2 , w 2 — 0 3 , 
so ergibt sich daraus nach der Vorschrift (5) für z die Eulersche Formel: 
2 - VK + Vo s + yo„ (9) 
die aber, weil die Quadratwurzeln zweiwertig sind, acht verschiedene 
Werte darstellt, nach einer eben gemachten Bemerkung nicht bloß 
die Wurzeln der Gleichung (4), sondern auch die der Gleichung 
£ 4 + pz — qz + r = 0. 
Es handelt sich um die Feststellung der ersteren, und hierzu 
bietet die mittlere der Gleichungen (6) einen Anhalt, indem die 
Wurzelwerte, die zur Bildung der Wurzeln von (4) geeignet sind, 
so beschaffen sein müssen, daß 
Ve i yF 3 ye;--l 
ist. Bilden A, B, C ein Tripel solcher Werte, so ergeben sich die