236 Gleichungen. § 5. Algebraische Auflösung cl. Gleichungen 3. u. 4. Grades. 
drei andern Tripel durch Zeichenänderung an zwei Gliedern; mithin 
sind dann 
H 
h 
% 
die Lösungen von (4) 1 ). 
148. Diskussion der Eulerschen Formel. Da das absolute 
Glied der Resolvente (8) wesentlich negativ, das Produkt 6 1 6 2 6 3 ihrer 
Wurzeln also stets positiv ist, so läßt sich über diese Wurzeln eine 
Aussage machen, nämlich: Sind alle drei reell, so sind sie entweder 
sämtlich positiv, oder eine positiv und zwei negativ; ist nur eine reell, 
so ist sie notwendig positiv, weil das Produkt der beiden andern, die 
konjugiert komplex sind, positiv ist. 
Es sind daher folgende Fälle zu unterscheiden: 
I. 6 X , 0 2 , 0 3 reell und positiv; dann sind A, B, C und mit ihnen 
alle vier Wurzeln (10) reell. 
II. 6 1} 0 2J 6 3 reell und nur 6 X positiv; A ist dann reell, während 
B, C imaginär sind; infolgedessen sind im allgemeinen alle vier Wurzeln 
(10) komplex und die Paare z x , ; z 3 , z x konjugiert. Nur wenn die 
negativen Wurzeln auch gleich ausfallen, werden zwei von den 
Wurzeln (10) reell und auch gleich. 
III. 0 X reell und positiv, 0 2 , 0 3 konjugiert komplex; dann sind A 
reell und entweder B, C oder B, — C konjugiert komplex, so daß 
unter allen Umständen zwei der Wurzeln (10) reell und zwei kon 
jugiert komplex ausfallen. 
Das Gesamtergebnis lautet dahin, daß die biquadratische Gleichung 
entweder vier reelle, oder zwei reelle und zwei konjugiert komplexe oder 
endlich vier komplexe Wurzeln besitzt, die zu zwei Paaren konjugiert 
sind; dies alles unter der Voraussetzung reeller Koeffizienten. 
149. Beispiel. Es ist die Gleichung 
£ 4 — 8 x 3 -f 3 = 0 
aufzulösen. 
Zum Zwecke der Reduktion ist 
A + B+ G 
A-B-C 
-A + B-C 
-A-B+C 
(10) 
1) Der Gleichung U -p pz 2 — qz r = 0 kommen die Wurzeln — A -f- B C 
A — B + C, A + B — C und — A — B — C zu.