Grenzen der Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen. 239 
chungen höheren als des vierten Grades durch die Koeffizienten dar 
zustellen; mit andern Worten, ob es möglich sei, die Wurzeln solcher 
Gleichnagen durch die Operationen bis zum Radizieren einschließlich 
auszudrücken. Der erste, der die Verneinung dieser Frage aussprach 
und den Beweis hierfür zu erbringen versuchte, war P. Ruffini (1813). 
Ein vollgiltiger Beweis für die Unmöglichkeit der algebraischen Auf 
lösung von höheren Gleichungen allgemeiner Form als des vierten Grades 
wurde zuerst von N. H. Abel (1826) gegeben. Neben dieser Be 
weisführung für eine negative Aussage ging die Forschung nach 
solchen Formen höherer Gleichungen einher, die eine algebraische 
Auflösung zulassen. Derartige Gleichungen bilden ein wichtiges Glied 
der neueren Algebra. 
Im Rückblick auf das Vorangehende sei noch das Folgende bemerkt. 
Eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten kann,, 
von imaginären Lösungen abgesehen, rationale und irrationale Wurzeln 
haben; die letzteren sind bei den Gleichungen zweiten, dritten und 
vierten Grades immer, bei den Gleichungen höherer Grade nur ganz 
ausnahmsweise durch die algebraischen Rechenoperationen, deren 
höchste das Radizieren ist, berechenbar. Man hat nun allen Zahlen, 
die als Wurzeln von algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen 
Koeffizienten, welchen Grades immer, auftreten können, den Namen 
algebraische Zahlen gegeben. Diese Zahlenkategorie umfaßt also außer 
den rationalen Zahlen irrationale Zahlen, die sich durch die algebra 
ischen Operationen berechnen lassen, und irrationale Zahlen, die durch 
algebraische Rechenoperationen nicht gewonnen werden können. — 
Darüber hinaus gibt es aber noch Zahlen, die auch nicht als Wurzeln 
einer algebraischen Gleichung was immer für hohen Grades mit ganz 
zahligen Koeffizienten zu erhalten sind: man nennt sie im Gegensätze 
zu den algebraischen transzendente Zahlen. Die beiden für die Ana 
lysis wichtigen Zahlen c und x gehören zu dieser Kategorie.