Verschiedene Koordinatensysteme. 
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Stellt inan durch Hinzufügung einer zweiten durch 0 gehenden 
Achse ein positiv orientiertes Cartesisches System her, so bestehen 
zwischen den rechtwinkligen und den Polarkoordinaten eines Punktes 
die Beziehungen: 
x — r cos cp, y — r sin cp, x 2 -j- if = r 2 . (1) 
Mg. 49. 
155. Bipolare Koordinaten. Sind in der Ebene zwei Punkte 
F, G, Fig. 49, angenommen, so kann die Lage 
eines beliebigen Punktes M durch die absolu 
ten Längen u, v der Strecken FM, GM be 
schrieben werden; man nennt F, G Pole, u, 
v bipolare Koordinaten von M. Während 
aber zu jedem Punkte ein bestimmtes Zah 
lenpaar u, v gehört, führt nicht auch umgekehrt jedes Zahlenpaar 
u, v zu einem Punkte. 
Legt man durch F und G eine gerichtete Gerade und bestimmt 
die (hohlen) Richtungswinkel cp, ip der durch F, M und 6r, M 
laufenden Geraden, so sind auch cp, bipolare Koordinaten; jetzt aber 
gehört auch zu jedem Zahlenpaar cp, ih (0 <i cp, ip je), die Fälle, 
wo cp = xl>, ausgenommen, ein bestimmter Punkt der Ebene. 
156. Die Linie. Eine Linie ist geometrisch definiert, wenn 
ein konstruktives Verfahren angegeben ist, durch das man beliebig 
viele ihrer Punkte bestimmen kann. 
Wird eine geometrisch definierte Linie auf ein Koordinatensystem 
bezogen, so hat die Gesetzmäßigkeit ihrer Entstehung zur Folge, daß 
zwischen den Koordinaten ihrer Punkte eine für alle gleichlautende 
Gleichung besteht; man nennt diese die Gleichung der Linie, sie bildet 
deren analytische Beschreibung. 
Umgekehrt entspricht einer Gleichung zwischen den Punkt- 
koordinaten, wenn man sie auf ein bestimmtes Koordinatensystem be 
zieht, im allgemeinen eine Linie. 
Dieser Gegenüberstellung entsprechen zwei Grundaufgaben der 
analytischen Geometrie: 1. Für eine geometrisch definierte Linie eine 
Gleichung aufzustellen. 2. Die zu einer gegebenen Gleichung gehörige 
Linie herzustellen. 
Zu diesen Aufgaben gesellt sich als dritte: 3. Die Eigenschaften 
der Linie aus ihrer Gleichung abzuleiten. 
Zu der Aufgabe 1 ist zu bemerken, daß vor allem eine zweck 
mäßige, den Angaben der Definition angepaßte Wahl des Koordinaten 
systems getroffen werden muß. 
Bei der Aufgabe 2 muß das Koordinatensystem angegeben sein, 
wenn es nicht schon aus der konventionellen Form der Gleichung 
ersichtlich ist.