244 Geometrie usw. §2. Analytische Darstellung geometrisch definierter Linien. 
Bei der Aufgabe 8 kommen die Methoden der analytischen Geo 
metrie zur Anwendung, die im Laufe der Zeit mit der Algebra und 
Analysis immer weiter ausgebildet worden sind. 
§ 2. Analytische Darstellung geometrisch definierter Linien. 
157. Kreis. Der Kreis ist eine Linie, deren Punkte von einem 
festen Punkte — Mittelpunkt, Zentrum — gleichen Abstand — 
Radius — haben. 
Bezieht man den Kreis auf ein Polarsystem, dessen Pol im Mittel 
punkt, dessen Polarachse in beliebiger Richtung angenommen ist, so 
lautet seine Gleichung 
r = a, (1) 
wenn a der Radius ist. 
In dem zugeordneten rechtwinkligen System (154) heißt die 
Gleichung 
x 2 + y~ = ci 2 - (2) 
158. Ellipse. 
Die Ellipse ist eine Linie, deren Punkte von 
zwei festen Punkten, den Brennpunkten, Ent 
fernungen von konstanter Summe haben. 
Wählt man die Brennpunkte als Pole 
eines bipolaren Systems, so ist, Fig. 50, 
u + v = 2 a 
(1) 
die Gleichung der Ellipse, sofern 2a die konstante Summe der Ab 
stände bezeichnet. 
Legt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem zugrunde, dessen 
Abszissenachse die nach rechts gerichtete Gerade durch die Brenn 
punkte, dessen Ordinatenachse das nach aufwärts gerichtete Mittellot 
dieser Punkte ist, so drückt sich, wenn F'F=‘2c, wobei notwendig 
c <C a, Gleichung (1) wie folgt aus: 
Vy 2 + (c — x) 2 + Yy 2 + (c + x) 2 = 2a: 
quadriert man, um rational zu machen, so entsteht 
x 2 + V 2 + + V(x 2 -f y 2 -\- c 2 ) 2 — 4c 2 x 2 == 2a 2 , 
und nach nochmaligem Quadrieren 
a 2 (x 2 -j- y 2 -f- c 2 ) — c 2 x 2 — a 4 = 0, 
nach x, y geordnet: 
(a 2 — c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 — c 2 ): 
setzt man die positive Differenz