Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel. 
245 
a 2 -c 2 = 6 2 , 
so nimmt die Gleichung der Ellipse schließlich eine der Formen 
b 2 x 2 + ary 2 = a 2 b 2 
■* 3 , r* i (-) 
« 2 ^ fe 2 
an. 
Wegen des zweimal ausgeführten Qnadrierens würden diese 
Gleichungen auch dann zustande kommen, wenn an die Stelle von 
(1) eine der folgenden Relationen träte: 
u — v = 2 a 
— u + v = 2a 
— u — v — 2a\ 
keine davon stellt ein reelles Gebilde dar, weil jede einen Widerspruch 
involviert: die beiden ersten den, daß die Differenz zweier Dreiecks 
seiten größer sein solle als die dritte, die letzte den, daß die Summe 
zweier negativen Zahlen positiv sein solle; folglich stellen die Gleich 
ungen (2) nur das durch die Eigenschaft (1) gekennzeichnete Ge 
bilde dar. 
159. Hyberbel. Die Hyperbel ist eine Linie, deren Punkte 
von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, Entfernungen von kon 
stanter Differenz haben. 
Mit Benützung derselben Annahmen und Bezeichnungen ergeben 
sich die Gleichungen 
+ (u — v) — 2 a (1) 
imd b 2 x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2 
x 2 y 2 
a 2 b 2 
wenn c 2 — a 2 = b 2 gesetzt wird, indem jetzt notwendig c > a ist. 
Auch hier umfassen die Gleichungen (2) al 
gebraisch mehr als (1), indem sie auch dann zu 
stande kämen, wenn an Stelle von (1) eine der 
Relationen + (u + v) — 2a genommen würde; bei 
des aber steht mit Tatsachen im Widerspruch. 
160. Parabel. Die Parabel ist eine Linie, 
deren Punkte von einem festen Punkte, dem Brenn 
punkte, und einer nicht durch ihn gehenden festen 
Geraden, der Direktrix, gleich weit entfernt sind. 
Nimmt man, Fig. 51, die nach rechts gerichtete Normale der 
Direktrix DD' durch den Brennpunkt F als Abszissenachse und den