248 Geometrie usw. § 2. Analytische Darstellung geometrisch definierter Linien. 
Aus der Auflösung von (2): 
(3) 
ließt man folgende Eigenschaften ab: 1. die Kurve ist symmetrisch zur 
x-Achse; 2. reelle Punkte sind in dem Intervall 0 <C x < a vorhanden; 
3. bei lim x = a — 0 wird y unendlich, so daß die bei der Konstruk 
tion benützte Kreistangente zugleich Asymptote ist. 
. Aus (l) entnimmt man, daß r gegen Kuli konvergiert, wenn cp 
sich von der einen oder anderen Seite der Kuli nähert; mithin be 
rührt die «-Achse sowohl den oberen als den unteren Zweig der Kurve 
in 0; die Erscheinung, die sich hier darbietet, wird Spitze genannt. 
Die beiden zuletzt besprochenen Linien sind nach dem Bau ihrer 
mit (2) bezeichneten Gleichungen algebraische Kurven dritter Ordnung. 
163. Cassinische Linien. 
Als solche bezeichnet man Li 
nien, deren Punkte von zwei 
festen Punkten, den Brennpunk 
ten, Entfernungen von konstan 
tem Produkt haben. 
Ka 
Im bipolaren System F, F' y 
Pig. 55, haben diese Linien 
die Gleichung 
Kg. 55. 
Geht man auf das rechtwinklige System über, so ergibt sich zunächst: 
Vy 2 + (c — x) 2 ■ Yy 2 + (c + x) 2 = a 2 , 
wenn F'F=2c, und nach Herstellung der rationalen Form: 
(x 2 + y 2 ) 2 -f 2 c 2 {y 2 — x 2 ) == cd — c 4 . 
(2) 
Die Auflösung von (2), zunächst nach y 2 , gibt: 
y 2 = — («" + c 2 ) + ]/4c 2 « 2 + a 4 ; 
von diesen Lösungen kann nur die mit dem oberen Zeichen zu reellen 
y führen, aber auch sie liefert solche nur so lange, als: 
somit bei x 2 — c 2 <C a 2 und c 2 — x 2 <C a 2 , woraus sich einerseits die 
obere Grenze für x mit ]/c 2 + a 2 , andererseits die untere mit ]/c 2 — a 2 
bestimmt. Während die obere Grenze immer reell ausfällt, ist es die 
untere nur für c > a.