254 Analytische Geometrie der Ebene. § 3. Koordinatentransformation. 
braucht also nur x, y mit x', y' zu vertauschen und das Vorzeichen 
von a zu ändern und erhält so: 
(2) 
man 
x = x cos a -)- y sin a 
y' = — x sin a -f y cos u. 
Als Beispiel diene eine Hyperbel, bei der b = a ist 
nennt sie eine gleichseitige Hyperbel —, deren Gleichung also 
9 9 9 
X“ — y u = ÖT 
lautet (159); das System, das dieser Gleichung zugrunde liegt, werde 
um — (also um 45° nach abwärts) gedreht; die Transformation wird 
dann durch die Substitution 
n' + y’ 0l ^— x ' + y' 
IS ’ y ~ 
x = 
Ÿ2 
vermittelt und verwandelt die Gleichung in 
/ / a 2 
« V = y* 
170. Allgemeine Transformation rechtwinkliger Koor 
dinaten. So wollen wir den Übergang von einem rechtwinkligen 
System zu einem beliebigen andern gleichartig 
orientierten verstehen. Die gegenseitige Anord 
nung ist durch die Koordinaten x 0 , y 0 des neuen 
Ursprungs bezüglich des alten Systems und durch 
den Rotationswinkel im vorhin erklärten Sinne 
Der Übergang zu dem Hilfssystem X" 0' Y' 
ist eine Translation, daher 
x = x 0 + x 
V = Vo + y"\ 
der Übergang von diesem zu X'0'Y' ist eine Rotation, daher 
x" — «'cos a — y' sin a 
y" = «'sin a -f- y' cos «; 
durch Superposition ergeben sich die endgültigen Transformations 
gleichungen: , . 
x = x n ~i~ x cos a — y sin a 
0 , . , (1) 
y = y 0 + « sm a + y cos a. 
Die Gleichungen für die inverse Transformation erhält man aus 
(2) der vorigen Nummer, indem man x, y durch x — x 0 , y — y 0 ersetzt; 
sie heißen also: 
«'=(« — x 0 ) cos a -f (y — y 0 ) sin Ci 
y’ = — (x — x 0 ) sin a + (y — y 0 ) cos a . 
(2)