Weitere Transformationen. 
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171. Rechtwinklige und Polarkoordinaten. Bei der Ein 
führung des Polarsystems (154;) ist bereits auf ein bestimmtes, mit 
ihm zusammenhängendes rechtwinkliges System hin 
gewiesen worden; der Übergang von dem einen 
zu dem andern kam im Laufe der Beispiele auch 
wiederholt zur Anwendung. Jetzt soll der all 
gemeine Fall erledigt werden, darin bestehend, daß 
man von einem rechtwinkligen System zu einem 
polaren übergeht, dessen Pol 0', Fig. 64, im alten 
System die Koordinaten x 0 , y 0 hat, und dessen 
Polarachse gegen die gerichtete ¿r-Achse des rechtwinkligen unter dem 
Winkel a geneigt ist. 
Diese Transformation kann aufgelöst werden in die vorangehende 
und in den darauffolgenden Übergang zu Polarkoordinaten im Sinne 
von 154; demnach lauten die Substitutionsgleichungen: 
x = x 0 + r (cos a cos qp — sin a sin cp) = x 0 + r cos (a -f- cp) 
y = y 0 -\- r (sin a cos cp -f cos a sin cp) = y 0 -f- r sin (a + cp): 
und für die inverse Transformation: 
(1) 
= ]/(. 
+ Ìy-yoY, cos +cp) 
X — x 0 
r 
sin (a + cp) 
= y — y o . 
r ’ 
(2) 
die beiden letzten Bleichungen bestimmen einen Winkel im Intervall 
(0,2 7t) eindeutig, aus dem sich dann durch SubBaktion von a die 
Amplitude cp ergibt. 
Als Beispiel zu diesem Falle diene die Transformation der Ellipsen- 
glcichung nach dem rechten Brennpunkt als Pol und der gerichteten 
Abszissenachse als Polarachse. Die zugehörigen Transformations 
gleichungen 
x = c + r cos cp, y = r sin cp 
verwandeln die Gleichung 
№x 2 -f a 2 y 2 = a 2 h 2 
in 
r 2 (h 2 cos 2 cp + a 2 sin 2 cp) + 2 b 2 er cos cp = b i , 
deren positive Wurzel 
sich weiter vereinfacht zu 
— b 2 c cos cp -\- ab 2 
a 2 — c 2 cos 2 (jp 
a -f- c cosqp 
bei cp = — erhält r den Wert 
p, den man als Parameter der