Positive Normale und Hessesche Normalgleichung. 
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Sind nun wie vorhin a, ß' die Richtungswinkel der gerichteten Geraden, 
cc, ß die der gerichteten Normalen, so bestehen immer (eventuell mit Außer 
achtlassung von 27t) die Relationen: 
v 
175. Hessesche Normalgleichung. 1 ) 
Man kann zur Beschreibung einer Geraden b A 
die absolute Länge p der vom Ursprung zu _cf: X 
ihr geführten Normalen und die Richtungs- / 
winkel a, ß ihrer positiven Richtung verwenden; Flg ' G< ‘ 
unter der Voraussetzung eines rechtwinkligen Systems besteht zwischen 
diesen die Beziehung 174, (4). 
Sind a, h die Segmente, welche die Gerade g, Fig. 67, auf den 
Achsen bildet, so schreibt sich ihre Gleichung: 
x 
a 
Nun ist aber unter allen Umständen 
b sin a = p\ 
a cos a = 
erweitert man also den ersten Bruch in der vorstehenden Gleichung 
mit cos«, den zweiten mit sin a und macht von dem letzten Ansätze 
Gebrauch, so entsteht die Gleichung: 
(1) 
x cos a + y sin a — p = 0, 
die mau als die Normalgleichnng von Hesse bezeichnet. 
Um die allgemeine Gleichung 
Ax + By + C = 0 
(2) 
auf diese Form zu bringen, wird man sie mit einem Multiplikator k 
multiplizieren, der so gewählt werden muß, daß 
k 2 A 2 + k 2 B 2 = 1 
sei, damit AM, kB tatsächlich den cos und sin eines Winkels dar 
stellen: die Unbestimmtheit des Vorzeichens von 
die durch den Zeichenfaktor e (-f 1 oder — 1) angezeigt ist, behebt 
sich durch die weitere Forderung, daß kC mit —p übereinstimmen, 
daher negativ sein muß; sonach hat A das entgegengesetzte Zeichen 
von C zu erhalten, was durch den Ansatz 
A) 
s = — sgn C 
ausgedrückt werden soll. 
1) Nach 0. Hesse benannt, der zur Ausbildung der modernen Methoden 
der analytischen Geometrie wesentlich beigetragen hat. 
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