Teilungsverhältnis einer Strecke. 
263 
Stellung kommen, so kann man sie als parametrische Gleichungen der 
durch die Punkte M i , M i bestimmten Geraden auffassen. 
Zwei Punkte M', M" mit den Teilungsverhältnisseu 1', X" be 
stimmen das Doppelverhältnis 
M 1 M' m M 1 M" _ r 
M' 3L Z : M " .1/, ~ 1" ’ 
(3) 
das positiv oder negativ ausfällt, je nachdem die Paukte in bezug 
auf M 1 , M 2 gleichartig oder ungleichartig liegen, d. h. beide innen 
oder außen, oder einer innen, einer außen. 
Ist insbesondere X' = — X", so nimmt das Doppelverhältnis den 
Wert.— 1 an, und man sagt dann, daß die Punkte M', M" die Strecke 
M l M. 1 harmonisch teilen; da aus (3) auch 
M' M 1 M' M., _ 1' 
M t M" : JL. M" ” r 
folgt, so teilen bei X" = —■ X' auch die Punkte M lf M 2 die Strecke 
M'M" harmonisch, und man sagt daher, die Punktepaare M 1} J\f. 2 
und M', M" trennen einander harmonisch, nennt auch M v Jf 2 , M', M" 
vier harmonische Punkte. 
Bezeichnet man die relativen Strecken M l M 2 , M 1 M', M 1 M" der 
Reihe nach mit s, s', s", so lautet der Ansatz (3) für harmonische 
Punkte so: 
daraus ergibt sich durch Umformung die für harmonische Punkte 
charakteristische Streckenrelation: 
die auch in der Gestalt 
Mg. 69. 
geschrieben werden kann. Den linksstehenden Ausdruck bezeichnet 
man als das harmonische Mittel von s', s". 
Um zu AT den vierten harmonischen Punkt in bezug auf M x , M. 2 , 
Fig. 69, zu finden, schneide man zwei beliebige Parallelen durch M v M. 2 
mittels einer durch M' laufenden Transversale N t N 2 , übertrage M 2 N 2 
nach d/o.Ao und bringe TIAN' 2 mit der Geraden zum Schnitt; dieser 
Schnittpunkt ist der gesuchte M", da sein Teilungsverhältnis, vom 
Zeichen abgesehen, dasselbe ist wie das von M'. 
Dem Mittelpunkt von M 1 M 2 entspricht der unendlich ferne Punkt 
der Geraden als vierter harmonischer.