Rationale Zahlen. Radizieren. 
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und Division oline Einschränkung ausführbar. Nennt man ein Zahlen 
system, das sich in bezug auf diese vier Rechnungsarten, die „vier 
Spezies“, in der beschriebenen Weise verhält, einen Zahlkörper, so bat 
man das System der rationalen Zahlen als einen Zablkörper zu be 
zeichnen. 
Man denkt sich die Brüche zwischen die bereits geordneten ganzen 
Zahlen nach ihrer Größe eingeordnet, so daß auch das System der 
rationalen Zahlen unter dem Bilde einer nach beiden Seiten unbe 
schränkt fortsetzbaren Reihe erscheint. 
Mit der Schaffung der Brüche ist ein bedeutsamer Schritt von 
der Mengenlehre zur Größenlehre getan. Um nämlich einer extensiven 
Größe (das einfachste Bild einer solchen ist eine Strecke) eine Zahl 
zuzuordnen, verwandelt man sie durch Teilung in eine Menge, die 
man zählt; die Teile werden einer gleichartigen, als Einheit gewählten 
Größe „gleich“ gemacht. Bleibt bei der Teilung ein Rest (kleiner 
als die Einheit), so verfährt man mit diesem ebenso unter Zugrunde 
legung eines bestimmten aliquoten Teiles der früheren Einheit usw. 
In diesem Vorgänge ist der eigentliche Ursprung der Brüche zu er 
blicken. 
12. Radizieren. Subtraktion und Division knüpfen mit ihrer 
Fragestellung an die Addition und Multiplikation an und sind inso 
fern als Umkehrungen dieser Rechnungsarten aufzufassen, als eine vor 
dem als gegeben vorausgesetzte Zahl nunmehr als zu bestimmende 
Zahl erscheint. 
Nimmt man das Potenzieren zum Ausgangspunkt einer solchen 
Umkehrung, indem man nach der Basis fragt, die zu einem natür 
lichen Exponenten n erhoben werden muß, damit eine gegebene posi 
tive rationale Zahl a als Potenz hervorgehe, so entsteht eine neue 
Rechnungsoperation, die man das Radizieren oder Wurzelziehen nennt; 
die Potenz a heißt nun Radikand, der Exponent n der Wurzelexponent 1 ), 
und die gestellte Forderung sowie ihr eventuelles Resultat, die Wurzel, 
wird durch das Symbol 
Vä (!) 
dargestellt; das Wesen der neuen Rechnungsart, in ihrer Zurückführung 
auf das Potenzieren bestehend, ist durch den Ansatz 
[y a y -a (2) 
bestimmt. 
Die Ausführbarkeit ist jedoch auf solche Zahlen a beschränkt, 
die wte Potenzen rationaler Zahlen sind, d. h. die sich als Produkte 
von n gleichen rationalen Faktoren darstellen lassen. Will man also 
das Radizieren (mit den hier über die Natur der Zahlen a, n ge 
troffenen Festsetzungen) bedingungslos ausführbar machen, so tritt 
1) Auch Grad der Wurzel.