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Der Zahlbegriff. § 1. Reelle Zahlen. 
die Notwendigkeit einer neuerlichen Erweiterung des bisherigen Zahl 
begriffs ein, und diese soll zunächst wieder formal in der Weise ge 
schehen, daß man das Symbol (1) immer, also auch dann als eine 
Zahl erklärt, wenn a nicht die nie Potenz einer (positiven) rationalen 
Zahl ist. 
Es handelt sich nun darum, die so eingeführten neuen Zahlen 
mit den rationalen in eine Beziehung zu bringen. Der hierzu führende 
Gedankengaug soll zunächst durch Betrachtung einer speziellen Auf 
gabe vorbereitet werden. 
Das Symbol y2 verlangt die Bestimmung einer Zahl, die zum 
Quadrat erhoben 2 gibt. Daß keine rationale Zahl dieser Forderung 
entsprechen kann, ist so zu erkennen. Wäre ~ eine solche — sie 
kann in der reduzierten Form vorausgesetzt werden —, so müßte 
p 2 = 2 q 2 sein; dies hätte einerseits die Teilbarkeit von p 2 durch 2, 
anderseits die Teilbarkeit von 2 durch p 2 , also p 2 = 2 und q 2 = 1 zur 
Folge; nun ist aber 2 nicht das Quadrat einer ganzen Zahl, somit 
die obige Annahme hinfällig. 
1. Die durch das Symbol }/¥ ausgedrückte Forderung bewirkt 
demnach eine Scheidung der (positiven) rationalen Zahlen in zwei 
Klassen A, JB in der Weise, daß alle Zahlen der ersten Klasse ein 
Quadrat kleiner als 2, alle Zahlen der zweiten Klasse ein Quadrat 
größer als 2 geben; infolgedessen ist auch jede Zahl der Klasse A 
kleiner als jede Zahl aus B. 
Es gibt aber in der Klasse A keine größte und in der Klasse B 
keine kleinste Zahl. 
Denn ist x eine Zahl aus A, also x 2 < 2, so läßt sich ein posi 
tives h so bestimmen, daß auch (x -f- h) 2 < 2 wird; denn aus 
2hx<C 2hx + h 2 < 2 — x 2 
^ ^ t 2 Qß ^ 
folgt h < ^ , und jede rationale Zahl zwischen x und x-\ — 
ö 2.x ’ J ' 2x 
2 | • • t 
= ^ gehört auch zur Klasse A. Und ist y eine Zahl der Klasse B, 
also y 2 > 2, so läßt sich die positive Zahl Je so bestimmen, daß auch 
(;y — Ti) 2 > 2 wird; denn aus 
folgt Ti < 
2 y 
2ky < y 2 — 2 + Tc 2 < y 2 — 1 
, und jede rationale Zahl zwischen y 
y*~ 1 
2 y 
y 2 +i 
2 y 
und y gehört auch zur Klasse B. 
Nach einer von R. Dedekind 1 ) eingeführten Ausdrucksweise be 
wirkt also die Forderung ]/2 einen Schnitt im System der rationalen 
Zahlen, durch welchen eine neue, diesem System nicht angehörige 
Zahl vollkommen bestimmt erscheint, eben die durch das Symbol 
|/2 definierte Zahl. 
1) Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1. Aufl. 1872, 3. Aufl. 1905.